Форма Бовиля — Богомолова

Форма Бови́ля — Богомо́лова (также Бови́ля — Богомо́лова — Фуджи́ки) — квадратичная форма, существующая на вторых когомологиях $H^{2}(X,\mathbb {C} )$ компактного гиперкэлерова многообразия. Названа в честь Арно Бовиля и Фёдора Богомолова.

Определение

Пусть $\sigma$ — образующая в $H^{2,0}(X,\mathbb {C} )$, выбранная так, чтобы $\int _{X}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n}=1$ (то есть симплектическая форма). Тогда всякая 2-форма допускает разложение на ходжевы компоненты: $\alpha =\lambda \sigma +\mu {\overline {\sigma }}+\beta ;\beta \in H^{1,1}(X)$. Определим квадратичную форму следующей формулой:

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{X}\beta ^{2}(\sigma {\overline {\sigma }})^{n-1}$

Свойства формы Бовиля — Богомолова

1. Пусть ${\mathfrak {X}}\to B$ — универсальная локальная деформация $X$ (её база $B$ будет шаром). Тогда для $t\in B$, достаточно близких к $0$, $q({\sigma }_{t})=0$, $q({\sigma }_{t},{\overline {{\sigma }_{t}}})>0$ (в последней формуле $q$ обозначает симметричную билинейную форму, построенную по выше определённой квадратичной форме).
2. Отображение, ставящее точке $t\in B$ точку, соответствующую форме ${\sigma }_{t}$ в проективизации вторых когомологий $\mathbb {P} (H^{2}(X,\mathbb {C} ))$, является, более того, локальным изоморфизмом с множеством нулей формы $q$ (локальная теорема Торелли).
3. $q|_{H^{2}(X,\mathbb {R} )}$ — невырожденная форма сигнатуры $(3,b_{2}(X)-3)$, где $b_{2}$ — второе число Бетти.
4. Соотношение Фуджики: если $\alpha \in H^{2}(X,\mathbb {R} );{q(\alpha )}^{n}=c\int _{X}{\alpha }^{2n}$, где $c$ — некоторая константа, не зависящая от комплексной структуры на $X$ (а только от его топологии).

Ссылки

• Global Torelli theorem for hyperkaehler manifolds, Misha Verbitsky