Проективное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проекти́вное простра́нство над полем  — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства над данным полем. Прямые пространства называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело

Если имеет размерность , то размерностью проективного пространства называется число , а само проективное пространство обозначается и называется ассоциированным с (чтобы это указать, принято обозначение ).

Переход от векторного пространства размерности к соответствующему проективному пространству называется проективизацией пространства .

Точки можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства[править | править вики-текст]

Отождествляя точки (x0, ..., xn) ~ (λx0, ..., λxn) , где λ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности ~)

Pn(R) := (Rn+1 ∖ {0}) / ~.

Точки проективного пространства обозначаются как [x0 : ... : xn] где числа xi называются однородными координатами[1]. Например, [1:2:3] и [2:4:6] обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение[править | править вики-текст]

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек P, множества прямых L и отношения инцидентности I, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

  • Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обоим точкам;
  • Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
  • Если прямые L и M пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки p и q лежат на прямой L, а точки s и r — на прямой M, то прямые ps и qr пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество T множества P, такое что для любых из этого подмножества все точки прямой принадлежат T. Размерностью проективного пространства P называется наибольшее число n, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

Классификация[править | править вики-текст]

  • Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
  • Размерность 1: произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
  • Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида для некоторого тела удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости (англ.).
  • Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,[2] любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть есть гиперплоскость в линейном пространстве . Проективное пространство называется проективной гиперплоскостью в .
  • На дополнении проективной гиперплоскости существует естественная структура аффинного пространства.
  • Обратно, взяв за основу аффинное пространство можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
  • Пусть и ― два проективных подпространства. Множество называется проективной оболочкой множества и обозначается .[3]

Тавтологическое расслоение[править | править вики-текст]

Тавтологическим расслоением называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения

а слоем — вещественная прямая . Каноническая проекция отображает прямую, проходящую через точки , в соответствующую точку проективного пространства. При это расслоение не является тривиальным. При пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, ч. 3, пар. 6, М.: Наука 1986
  2. Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. 9, пар. 1, — Физматлит, Москва, 2009.

Литература[править | править вики-текст]

  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.