Производная Гато

Произво́дная Гато́ расширяет концепцию производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Рёнэ́ Гато́ (фр. René Eugène Gâteaux).

Определение

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные пространства над полем $\mathbb {R} ,$ а $F$ — отображение, действующее из $X$ в $Y.$

Если для некоторого $x\in X$ и некоторого $h\in X$ существует предел (сходимость понимается по норме пространства $Y$)

$dF(x,\;h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0}{F(x+t\cdot h)-F(x) \over t},$

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) отображения $F$ в точке $x$ (на приращении $h$).

Отображение $dF(x,\;h)$ также называют первой вариацией отображения $F$ в точке $x$ (на приращении $h$).

Дифференциал Гато обладает свойством однородности: если определён $dF(x,\;h)$, то для любого $k\in \mathbb {R}$ будет определён $dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).$

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по $h.$

Если линейность имеет место, то есть

$dF(x,\;h)=F\;'(x)\ h,$

где $F\;'(x)$ — ограниченный линейный оператор, то $F\;'(x)$ называется слабой производной (или производной Гато) отображения $F$ в точке $x.$

См. также

• Производная (обобщения)
• Производная Фреше

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.