Неравенство Кон-Фоссена

Неравенство Кон-Фоссена связывает интеграл от гауссовой кривизны некомпактной поверхности с её эйлеровой характеристикой. Это неравенство аналогично формуле Гаусса — Бонне.

Названо в честь Стефана Эммануиловича Кон-Фоссена.

Формулировка

Для любой поверхности $S$ с полной римановой метрикой и ограниченной интегральной кривизной выполняется неравенство

$\iint \limits _{S}K\leq 2\cdot \pi \cdot \chi (S),$

где $K$ обозначает гауссову кривизну и $\chi (S)$ — Эйлерову характеристику $S$.

Примеры

• Если $S$ — компактная поверхность без края, то неравенство переходит в равенство согласно формуле Гаусса — Бонне.
• Если $S$ — плоскость, то неравенство становится строгим (его левая часть равна нулю, правая — $2\pi$).

Литература

• Кон-Фоссен, С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — Государственное Издательство Физико-Математической Литературы, 1959. — 303 с.