Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и последовательность событий $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$. Обозначим

$A=\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\equiv \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)$.

Тогда если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)$ сходится, то $\mathbb {P} (A)=0$.

Вторая лемма

Если все события $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ совместно независимы, и ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)$ расходится, то $\mathbb {P} (A)=1$.

Замечание

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

См. также

• Закон нуля или единицы;
• Теорема о бесконечных обезьянах;
• Борель, Эмиль;
• Кантелли, Франческо Паоло;
• Конвергенция Куратовского

Ссылки

• Prokhorov, A.V. (2001), "Borel–Cantelli lemma", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4