CUSUM-тест

CUSUM-тест (сокр. от англ. CUmulative SUM — «кумулятивная сумма») — применяемый в эконометрике статистический тест для проверки стабильности параметров модели на всей выборке. Тест основан на так называемых рекурсивных остатках.

Тест предложен Брауном, Дарбином и Эвансом в 1975 году.

Рекурсивные остатки

Данный тест использует так называемые рекурсивные остатки, которые получаются при использовании рекурсивного метода наименьших квадратов. Уже изучение самих рекурсивных остатков позволяет делать выводы о стабильности параметров модели, так как математическое ожидание их при стабильности модели равно нулю, а стандартное отклонение — стандартной ошибке модели.

Сущность и процедура теста

Статистика теста определяется следующим образом:

$CUSUM_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}}/{s}~,~~t=k+1,...,n$

где $k$ — количество параметров модели, $s$ — стандартная ошибка модели.

Если параметры модели стабильны, то математическое ожидание этой величины равно нулю для всех $t$. Соответственно, можно построить доверительные границы в виде ограничивающих линий на графике. Для 5%-го уровня значимости доверительные границы получаются путём соединения двух точек:

$k\pm 0.948{\sqrt {n-k}}~,~n\pm 3\cdot 0.948{\sqrt {n-k}}$

Если график статистики выходит за пределы линий, то параметры модели, вероятно, являются нестабильными — необходимо либо изменить модель, либо разделить выборку на однородные подвыборки.

Квадратический CUSUM (CUSUM-SQ)

Кроме теста кумулятивных рекурсивных остатков, используется также тест, основанный на кумулятивной сумме квадратов рекурсивных остатков, статистика которого имеет вид:

$CUSUMSQ_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}^{2}}~/{\sum _{r=k+1}^{n}w_{r}^{2}}$

Математическое ожидание этой статистики равно ${\frac {t-k}{n-k}}$. Доверительные границы строятся на основе специальных таблиц критических значений.

См. также

• Тест Чоу
• Рекурсивный МНК
• RESET-тест Рамсея

Литература

• Michèle Basseville and Igor V. Nikiforov. Detection of Abrupt Changes: Theory and Application (англ.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1993. — ISBN 0-13-126780-9.
• Mishra, S., Vanli, O. A., & Park, C (2015). "A Multivariate Cumulative Sum Method for Continuous Damage Monitoring with Lamb-wave Sensors" Архивная копия от 12 апреля 2018 на Wayback Machine, International Journal of Prognostics and Health Management, ISSN 2153-2648