q-производная

Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. Кана.

Определение

Q-производная функции f(x) определяется как

$\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$

и часто записывается как $D_{q}f(x)$. Q-производная известна также как производная Джексона.

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору

$D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,$

который приводит к обычной производной, → ^d⁄_dx при q → 1.

Оператор очевидно линеен,

$\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.$

Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах

$\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,

$\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.$

Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть $g(x)=cx^{k}$. Тогда

$\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).$

Собственная функция q-производной — это q-показательная функция e_q(x).

Связь с обычными производными

Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}$,

где $[n]_{q}$ — q-скобка числа n. Заметим, что $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$, так что обычная производная возвращается в пределе.

Для функции n-ая q-производная может быть задана как:

$(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!$

при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь $(q;q)_{n}$ — q-символ Похгаммера, а $[n]_{q}!$ — q-факториал. Если функция $f(x)$ аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения $D_{q}(f(x))$

$\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).$

Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}$

См. также

• Производная (математика)
• Инеграл Джексона
• Q-показательная функция
• Q-разностные многочлены
• Квантовое исчисление
• Энтропия Цаллиса

Литература для дальнейшего чтения

• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140
• Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001),