t-структура — понятие, аксиоматизирующее свойства абелевых подкатегорий производной категории. t-структура на триангулированной категории
состоит из двух подкатегорий
в
, обобщающих свойства комплексов с зануляющимися когомологиями в положительных, соответственно, в отрицательных степенях. На одной и той же категории могут существовать различные t-структуры, и взаимосвязи между этими структурами используются в алгебре и геометрии. Понятие t-структуры возникло в работах Бейлинсона, Бернштейна, Делиня и Габбера по превратным пучкам[англ.].[1]
Пусть
— триангулированная категория с функтором сдвига
. t-структура на
— это пара полных подкатегорий
, замкнутых относительно изоморфизма объектов, которые удовлетворяют следующим трём аксиомам.
- Если X — объект
, а Y — объект
, то ![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a66c5c4a9250ab118ac7648175ad118a5c41b4)
- Если X — объект
, то X[1] — также объект
. Аналогично, если Y — объект
, то Y[-1] — также объект
.
- Если A — объект
, то существует выделенный треугольник
, в котором X — объект
, а Y — объект
.
Можно показать, что подкатегории
и
замкнуты относительно расширений в
. В частности, они замкнуты относительно конечных прямых сумм.
Предположим, что
— t-структура на
. В этом случае, для любого целого n определим
как полную подкатегорию
, объекты которой имеют вид
, где
— объект категории
. Аналогично,
определяется как полная подкатегория объектов вида
, где
— объект
. Более кратко это записывается так:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[-n],\\{\mathcal {D}}^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[-n].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe95522ec06fd606609843afb71e30ea9e890ba)
С учётом этих обозначений, аксиомы могут быть переписаны следующим образом:
- Если X — объект
, а Y — объект
, то ![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bad098009df22c5bb73aa01937764f70dc2804)
и
.
- Если A — объект
, то существует выделенный треугольник
, в котором X — объект
, а Y — объект
.
Ядром или сердцевиной t-структуры называется полная подкатегория
, состоящая из объектов, которые содержатся одновременно в
и в
, то есть
![{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b597f940f95ceb21cfd0d47892a3be0f98f5b03d)
Сердцевина t-структуры является абелевой категорией (тогда как триангулированная категория аддитивна, но почти никогда не абелева), и замкнута относительно расширений.
Триангулированную категорию с выбранной t-структурой иногда называют t-категорией.
Для задания t-структуры достаточно, для некоторых целых чисел m и n задать
и
. Некоторые авторы определяют t-структуру как пару
.
Две подкатегории
и
однозначно определяют одна другую. Объект X принадлежит
тогда и только тогда, когда
для всех объектов Y из
, и наоборот. Таким образом,
и
являются левым и правым ортогональными дополнениями друг для друга. Следовательно, достаточно задать одну из подкатегорий
или
.
Если для любого объекта X категории
существуют такие целые m и n, что
и
, то t-структура называется ограниченной.[2]
Наиболее базовым примером t-структуры является естественная t-структура на производной категории. Пусть
— абелева категория, и
— её производная категория. Тогда естественная t-структура задаётся парой подкатегорий
![{\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398d8234f8a57a8c9f0e94a0e0461995e4bc31f9)
Из определения немедленно следует, что
![{\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e42dae543058dff6946b9381333e52e110b21a)
В этом случае третья аксиома t-структуры, утверждающая существование определённых выделенных треугольников, может быть доказана следующим образом. Предположим, что
— коцепной комплекс с членами из
. Определим
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3acb29a7ae48614da7465178c5b27541e7b4c0)
Нетрудно видеть, что
и существует короткая точная последовательность комплексов
![{\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88903f000357a9f1fa385a27b1c1e11fd5cfa19)
Эта точная последовательность индуцирует требуемый выделенный треугольник.
Существуют также аналогичные t-структуры для ограниченных, ограниченных сверху и ограниченных снизу производных категорий.
| Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (9 августа 2024) |
Пусть
— сердцевина ограниченной t-структуры на триангулированной категории
. Пара подкатегорий
категории
называется парой кручения, если выполняются следующие условия:
- Для любых
имеем
.
- Для любого
существует точная последовательность
в категории
, где
.
Для любой пары кручения
можно определить «тилт»
как наименьшую подкатегорию в
, содержащую
и
и замкнутую относительно расширений. Категория
также является сердцевиной ограниченной t-структуры на
. Такие t-структуры используются при построении условий стабильности по Бриджленду[англ.].[3]
В приведённом выше примере естественной t-структуры на производной категории выделенные треугольники, существование которых утверждается третьей аксиомой, строились при помощи операции «обрезания». Операции обрезания
и
функториальны как операции на категории комплексов, и получающаяся короткая точная последовательность комплексов функториальна по
. Используя это, можно показать, что корректно определены срезающие функторы на производной категории, и что они индуцируют естественный выделенный треугольник.
На самом деле, это — пример общего явления. Хотя в определении t-структуры не говорится о существовании срезающих функторов, такие функторы всегда могут быть построены, и, по существу, определены однозначно. Предположим, что
— триангулированная категория с t-структурой
. Точное утверждение заключается в том, что функторы вложения
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16ac7bd9416c4ae812d10a037147f97c718cb12)
имеют сопряжённые. Это функторы
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a041a7aa54fdffb51de9afd60113e21d9ebd064)
такие, что
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7f48f0ac0dce4cf0643772dff291891a6cb5e9)
Более того, для любого объекта
категории
существует однозначно определённый морфизм
![{\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5838ee27c78d00595b581511abeb617dd1b9ab19)
который, вместе с единицей и коединицей сопряжения, индуцирует выделенный треугольник
![{\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44fe083ded7b8a92e0bc7fea2b2fef386f89f82)
С точностью до единственного изоморфизма, существует единственный выделенный треугольник вида
, в котором
и
являются объектами
и
, соответственно. Из существования такого треугольника следует, что объект
принадлежит
(соответственно,
), если и только если
(соответственно,
).
Из существования
следует существование остальных срезающих функторов, при помощи сдвигов и перехода к противоположной категории. Если
— объект
, третья аксиома из определения t-структуры утверждает существование объекта
из
и морфизма
, включающегося в определённый выделенный треугольник. Для произвольного
выберем один такой треугольник и положим
. Из аксиом t-структуры следует, что для любого объекта
из
мы имеем
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7d8805c69c043c77475ccc58f9bd91275946a9)
и изоморфизм индуцируется морфизмом
. Это показывает, что
является решением задачи об универсальном отображении. Из стандартных утверждений о производных функторах следует, что объект
определён однозначно с точностью до единственного изоморфизма, и что существует единственный способ определить действие
на морфизмах, который делает его правым сопряжённым функтором. Это доказывает существование
, и, следовательно, существование всех срезающих функторов.
Повторное применение операций обрезания для t-структур имеет свойства, аналогичные операциям обрезания для комплексов. Если
, то существуют естественные преобразования
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c74906c195c9e5961bacf561aa33d2c6f315f88)
которые индуцируют естественные эквивалентности
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3ce6e798815fd9a629056db370a04c61da232b)
Функтор n-х когомологий
определяется по формуле
![{\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8903329be69b453c749dd17835434267cf74f0a4)
В соответствии с названием, он действительно является когомологическим функтором на триангулированной категории. А именно, для любого выделенного треугольника
мы получаем длинную точную последовательность
![{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5999098a32d9a1c7451935a266ff31a29b985160)
В приложениях из алгебраической топологии функторы когомологий могут обозначаться как
вместо
. Функторы когомологий принимают значения в сердцевине
. По одному из приведённых выше тождеств, с точностью до естественной эквивалентности можно положить
![{\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c805bc0f33c3574ae066ce42ddae89f3396c0a)
Для естественной t-структуры на производной категории
функтор когомологий
, как принимающий значения в
, сопоставляет комплексу его обычные n-е когомологии.
t-структура называется невырожденной, если пересечение всех
, а также пересечение всех
, состоит только из нулевых объектов. Для невырожденной t-структуры набор функторов
является консервативным (то есть морфизм
в
является изоморфизмом, если все
— изоморфизмы). Более того, в этом случае
(соответственно,
) можно отождествить с полной подкатегорией тех объектов
, для которых
при
(соответственно,
).
- ↑ Beĭlinson, A. A.; Bernstein, J.; Deligne, P. Faisceaux pervers. Analysis and topology on singular spaces, I (Luminy, 1981), 5-171, Astérisque, 100, Soc. Math. France, Paris, 1982.
- ↑ А. Л. Городенцев, С. А. Кулешов, А. Н. Рудаков, «t-стабильности и t-структуры на триангулированных категориях», Изв. РАН. Сер. матем., 68:4 (2004), 117—150, С. 123.
- ↑ Arend Bayer, Emanuele Macrì and Yukinobu Toda. Bridgeland stability conditions on threefolds I: Bogomolov-Gieseker type inequalities. J. Algebraic Geom. 23 (2014), 117—163.
- Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. — М.: Наука, 1988. — Т. 1. Введение в теорию когомологий и производные категории. — 416 с. — ISBN 5-02-014414-2.