Абелева категория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Абелева категория — категория, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают определёнными удобными свойствами. Пример, который стал прототипом абелевой категории — категория абелевых групп. Теория абелевых категорий была разработана Александром Гротендиком для объединения нескольких теорий когомологий. Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категорных конструкций; например, категория цепных комплексов с элементами из абелевой категории и категория функторов из малой категории в абелеву также являются абелевыми.

Определение[править | править вики-текст]

Категория является абелевой, если:

Это определение эквивалентно[1] следующему определению «по частям»: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырех свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

Примеры[править | править вики-текст]

Аксиомы Гротендика[править | править вики-текст]

В статье Sur quelques points d’algèbre homologique[2] Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории \mathcal{A}.

  • AB3) Для любого множества объектов (A_i)_{i\in I} категории \mathcal{A} существует копроизведение \oplus A_i. Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории \mathcal{A}[3].
  • AB4) \mathcal{A} удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
  • AB5) \mathcal{A} удовлетворяет аксиоме AB3) и фильтрованные копределы[en] точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки (A_i)_{i\in I} подобъектов объекта A и любого B — подобъекта объекта A верно, что \sum(A_i\cap B)=\sum(A_i) \cap B.

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):

  • AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
  • AB2) Для любого морфизма f:A\to B канонический морфизм из \mathrm{coim} f в \mathrm{im} f является изоморфизмом. (Здесь \mathrm{coim} f=A/\mathrm{ker} f).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

История[править | править вики-текст]

Понятие абелевой категории было предложено Буксбаумом[en] в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]