Интеграл Джексона

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Определение

Пусть $f(x)$ — функция от вещественной переменной $x$. Интеграл Джексона для $f$ определяется как следующий ряд:

$\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).$

В случае, если $g(x)$ является другой функцией и $D_{q}g$ означает её $q$-производную, формально её можно записать:

$\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},$ или:

$\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),$

В результате получается $q$-аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Интеграл Джексона как q-первообразная

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида).

Теорема

Если предположить, что $0<q<1$ и если значение $|f(x)x^{\alpha }|$ ограничено на интервале $[0,A)$ для некоторого $0\leqslant \alpha <1,$ то интеграл Джексона сходится к функции $F(x)$ на $[0,A)$, которая является q-первообразной функции $f(x)$. Более того, $F(x)$ непрерывна на $x=0$ с $F(0)=0$ и является первообразной функции $f(x)$ в этом классе функций.