Неотрицательная матрица

В математике неотрицательная матрица — это матрица, элементы которой больше или равны нулю:

$\mathbf {X} \geq 0,\qquad \forall i,j\,x_{ij}\geq 0.$

Положительная матрица — это матрица, элементы которой строго больше нуля:

$\mathbf {X} >0,\qquad \forall i,j\,x_{ij}>0.$

Любая стохастическая матрица (матрица переходных вероятностей для цепи Маркова) является неотрицательной.

Положительную матрицу не стоит путать с положительно определённой матрицей.

Матрица, которая одновременно является неотрицательной и неотрицательно определённой, называют вдвойне неотрицательной матрицей.

Собственные значения и собственные вектора квадратной положительной матрицы описываются теоремой Фробениуса-Перрона.

Обратные матрицы

Матрица, обратная любой невырожденной M-матрице, является неотрицательной матрицей. Если невырожденная M-матрица является симметричной, то полученная обратная матрица называется матрицей Стильтьеса.

Неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную тогда и только тогда, когда она является неотрицательной мономиальной матрицей.

Применение

Неотрицательные матрицы возникают при изучении стохастических, бистохастических матриц, а также участвуют в формулировке ряда теорем.

См. также

Матрица Метцлера

Литература

1. Abraham Berman, Robert J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, 1994, SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
2. A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, 1979 (chapter 2), ISBN 0-12-092250-9
3. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990 (chapter 8).
4. Krasnosel'skii, M. A.. Positive Solutions of Operator Equations (неопр.). — Groningen: P.Noordhoff Ltd, 1964. — С. 381 pp..
5. Krasnosel'skii, M. A.; Lifshits, Je.A.; Sobolev, A.V. Positive Linear Systems: The method of positive operators (англ.). — Berlin: Helderman Verlag, 1990. — Vol. 5. — P. 354 pp.. — (Sigma Series in Applied Mathematics).
6. Henryk Minc, Nonnegative matrices, John Wiley&Sons, New York, 1988, ISBN 0-471-83966-3
7. Seneta, E. Non-negative matrices and Markov chains. 2nd rev. ed., 1981, XVI, 288 p., Softcover Springer Series in Statistics. (Originally published by Allen & Unwin Ltd., London, 1973) ISBN 978-0-387-29765-1
8. Richard S. Varga 2002 Matrix Iterative Analysis, Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.