Неравенство Лоясевича

Неравенство Лоясевича — неравенство, установленное польским математиком Станисловом Лоясевичем, дающее верхнюю оценку для расстояния от точки произвольного компакта до множества нулевого уровня вещественной аналитической функции многих переменных. Это неравенство находит применения в различных разделах математики, в том числе, в вещественной алгебраической геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений .

Формулировка

Пусть функция $f:U\to \mathbb {R}$ является вещественно аналитической на непустом открытом множестве $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ и пусть $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ — множество нулей функции $f$. Если множество $Z$ непусто, то для любого непустого компакта $K\subset U$ существуют такие константы $\alpha \geq 2$ и $C>0$, что имеет место неравенство

$\inf _{z\in Z}|x-z|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,$

число $\alpha$ в котором может быть достаточно большим.

Кроме того, для любой точки $p\in U$ существует достаточно малая её окрестность $W\subset U$ и такие константы $0<\beta <1$ и $C>0$, что имеет место второе неравенство Лоясевичаː

$|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.$

Из второго неравенства очевидно следует, что для каждой критической точки вещественно аналитической функции существует такая окрестность, что функция принимает то же самое значение во всех критических точках из этой окрестности.

Литература

• Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II, Lojasiewicz inequalities and applications, arXiv:1402.5087 Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
• Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.
• Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Semianalytic and subanalytic sets", Publications Mathématiques de l'IHÉS (67): 5—42, ISSN 1618-1913, MR: 972342 Архивная копия от 8 августа 2014 на Wayback Machine
• Ji, Shanyu; Kollár, János; Shiffman, Bernard (1992), "A global Łojasiewicz inequality for algebraic varieties", Transactions of the American Mathematical Society, 329 (2): 813—818, doi:10.2307/2153965, ISSN 0002-9947, JSTOR 2153965, MR: 1046016 Архивная копия от 1 ноября 2015 на Wayback Machine