Оператор координаты

Оператор координаты — квантово-механический оператор, наряду с оператором импульса, использующийся для описания поведения системы. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

В координатном представлении оператор ${\hat {X}}$ — сама координата $x$; в импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу:

${\hat {X}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}$.

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть:

$[{\hat {X}},{\hat {P}}]\not \equiv 0$

Таким образом, для пары наблюдаемых величин $x$ и $p$ выполняется соотношение неопределённостей Гейзенберга:

$\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

$[{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar$

$[{\hat {Y}},{\hat {P_{y}}}]=i\hbar$

$[{\hat {Z}},{\hat {P_{z}}}]=i\hbar$

и все остальные коммутаторы между ${\hat {X}},{\hat {Y}},{\hat {Z}},{\hat {P_{x}}},{\hat {P_{y}}},{\hat {P_{z}}}$ равны 0.

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией $\psi$ определяется как:

$\langle x\rangle =({\hat {X}}\psi ,\psi *)=\langle \psi \vert {\hat {X}}\vert \psi \rangle =\int \limits _{V}{x\psi ^{\ast }\psi }dV$

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.