Оператор импульса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию.

Определение на основе волны де Бройля[править | править вики-текст]

Операторы энергии и импульса могут быть построены следующим способом[1].

Одномерный случай[править | править вики-текст]

Решение одномерного уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид:

Производная первого порядка по координате:

Выражая из соотношения де Бройля:

формула для производной ψ принимает следующий вид:

Таким образом, получаем:

Величины, которые измеряются в эксперименте, - это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная - это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.

Три измерения[править | править вики-текст]

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трехмерном случае решение уравнения Шредингера в виде плоских волн будет следующим:

где градиент

где , и - это единичные векторы для трехмерности, а значит

Это оператор импульса в координатном представлении - частные производные в нем берутся по отношению к пространственным переменным.

Определение на основе инвариантности к трансляциям[править | править вики-текст]

Трансляционный оператор обозначается как T(ϵ), где ϵ представляет собой величину трансляции и удовлетворяет следующему соотношению:

которое становится

Считая ψ аналитической функцией (то есть дифференцируемой в некоторой области комплексной плоскости), её можно разложить в ряд Тейлора по x:

тогда:

Как известно из классической механики, импульс - это генератор трансляций, так что соотношение между операторами трансляции и импульса будет иметь вид:

тогда

Четырехмерный оператор импульса[править | править вики-текст]

Данный оператор имеет вид:

где ∂μ - это 4-градиент, и становится + перед трехмерным оператором импульса. Этот оператор появляется в релятивистской квантовой теории поля, так же как и уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения. Энергия и импульс комбинируются в 4-мерный вектор импульса и соответствуют частным производным первого порядка по времени и координате для соответствия лоренцовской инвариантности.

Свойства[править | править вики-текст]

Эрмитовость[править | править вики-текст]

Оператор импульса относится к эрмитовым операторам[2].

Коммутационные соотношения[править | править вики-текст]

Используя координатное или импульсное представление, можно показать, что:

Доказательство:

Распишем выражение и домножим его на функцию

применив правило дифференцирования сложной функции получим:

сократим:

поделим обе части на функцию

Таким, образом координата и импульс - сопряжённые величины.

Более того операторы компонент импульса также коммутативны.

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Можно показать что преобразование Фурье импульса - это оператор координаты. Используя запись в виде бра и кет векторов:

То же применимо и для оператора координаты в импульсном представлении:

и ещё одно важное соотношение:

где отвечает дельта функции Дирака.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2