Ориентированная площадь

Ориентированная площадь — обобщение понятия площади, заключённой внутри замкнутой кривой на плоскости. В отличие от обычной площади, имеет знак.

Определение

Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая $\ell$, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на $\ell$ точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), называемая индексом точки относительно $\ell$. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур $\ell$ обходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, называется охватываемой $\ell$ ориентированной площадью.

Свойства

Для ориентированной площади $S$ заключённой внутри замкнутой ломаной $A_{1}\dots A_{n}$ на плоскости выполняется равенство

$S\cdot {\vec {N}}={\vec {OA_{1}}}\times {\vec {A_{1}A_{2}}}+\dots +{\vec {OA_{n}}}\times {\vec {A_{n}A_{1}}},$

где ${\vec {N}}$ обозначает единичный вектор нормали к плоскости и $\times$ — векторное произведение.

Литература

• Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 1956;