Основная гипотеза комбинаторной топологии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Основная гипотеза комбинаторной топологии (нем. Hauptvermutung) — гипотеза, утверждающая, что любые две триангуляции одного пространства допускают изоморфные подразбиения. Сформулирована в 1908 году Эрнстом Штайницем и Генрихом Титце. Впоследствии опровергнута в общем виде; более того, она оказалась неверной для некоторых многообразий размерности 4 и выше.

Контрпример к общему случаю был построен Джоном Милнором в 1961 году с помощью кручения Райдемейстера[англ.].[1]

Для многообразий гипотеза верна в размерностях 2 и 3. Эти случаи были доказаны Тибором Радо[англ.] и Эдвином Моизом[англ.] в 1920-х и 1950-х годах, соответственно.[2]

Препятствие к выполнению гипотезы для многообразий было найдено Кэссоном[англ.] и Деннисом Салливаном в 1967—1969 годах с использованием инварианта Рохлина[англ.].

Гомеоморфизм между -мерными кусочно-линейными многообразиями имеет инвариант такой, что для изотопeн кусочно-линейному гомеоморфизму тогда и только тогда, когда .

Препятствие к выполнению гипотезы являются относительным вариантом класса Кёрби — Зибенманна и определяется для любого компактного -мерного топологического многообразия:

с использованием инвариант Рохлина. Для имеет кусочно-линейную структуру (то есть допускает триангуляцию кусочно-линейным многообразием) тогда и только тогда, когда , и в этом случае кусочно-линейные структуры определяются элементом . В частности, существует только конечное число различных кусочно-линейных структур на .

Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашёл примеры с бесконечным числом неэквивалентных кусочно-линейных структур, и Михаил Фридман нашёл E8-многообразие, которое также не допускает триангуляции.

В 2013 году Киприан Манолеску[англ.] доказал существование компактных многообразий размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не допускают триангуляции.[3]

Примечания

[править | править код]
  1. John W. Milnor. Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct // Annals of Mathematics. — 1961. — Vol. 74. — P. 575–590. — doi:10.2307/1970299. JSTOR 1970299. MR: 133127.
  2. Moise, Edwin E. Geometric Topology in Dimensions 2 and 3. — New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 978-0-387-90220-3.
  3. Ciprian Manolescu. Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture // J. Amer. Math. Soc.. — 2016. — Vol. 29. — P. 147—176. — doi:10.1090/jams829.