Гомеоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Классический пример гомеоморфизма: кружка и бублик (тор) топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (греч. ὅμοιος — похожий, μορφή — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку, при непрерывности биекции, образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение[править | править код]

Пусть и — два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также и обратная функция непрерывны.

Связанные определения[править | править код]

  • Пространства и в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.
    • Обычно это отношение обозначается .
  • Свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примеры топологических свойств: все виды отделимости в топологических пространствах, связность и несвязность, линейная связность, компактность, односвязность, метризуемость, а также локальные аналоги перечисленных свойств (локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность, локальная метризуемость), свойство быть топологическим многообразием, конечномерность, бесконечномерность и размерность топологических многообразий и др.
  • Локальным гомеоморфизмом пространств называется непрерывное сюръективное отображение , если каждая точка обладает такой окрестностью , что ограничение на является гомеоморфизмом между и её образом .
    • Пример. Отображение является локальным гомеоморфизмом между числовой прямой и окружностью . Однако эти пространства не гомеоморфны, например, потому, что окружность компактна, а прямая - нет.

Теорема о гомеоморфизме[править | править код]

Пусть — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть — биекция. Тогда является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда строго монотонна и непрерывна на

Пример[править | править код]

  • Произвольный открытый интервал гомеоморфен всей числовой прямой . Гомеоморфизм задаётся, например, формулой
  • Интервал гомеоморфен отрезку в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]