Поиск в глубину

Порядок обхода дерева в глубину

Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов обхода графа. Стратегия поиска в глубину, как и следует из названия, состоит в том, чтобы идти «вглубь» графа, насколько это возможно. Алгоритм поиска описывается рекурсивно: перебираем все исходящие из рассматриваемой вершины рёбра. Если ребро ведёт в вершину, которая не была рассмотрена ранее, то запускаем алгоритм от этой нерассмотренной вершины, а после возвращаемся и продолжаем перебирать рёбра. Возврат происходит в том случае, если в рассматриваемой вершине не осталось рёбер, которые ведут в нерассмотренную вершину. Если после завершения алгоритма не все вершины были рассмотрены, то необходимо запустить алгоритм от одной из нерассмотренных вершин.

Алгоритм поиска в глубину

Пусть задан граф $G=(V,E)$, где $V$ — множество вершин графа, $E$ — множество ребер графа. Предположим, что в начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Выполним следующие действия:

1. Пройдём по всем вершинам $v\in V$.
   • Если вершина $v$ белая, выполним для неё DFS(v).

Процедура DFS (параметр — вершина $u\in V$)

1. Перекрашиваем вершину $u$ в серый цвет.
2. Для всякой вершины $w$, смежной с вершиной $u$ и окрашенной в белый цвет, рекурсивно выполняем процедуру DFS(w).
3. Перекрашиваем вершину $u$ в чёрный цвет.

Часто используют двухцветные метки — без серого, на 1-м шаге красят сразу в чёрный цвет.

Нерекурсивные варианты

На больших графах поиск в глубину серьёзно нагружает стек вызовов. Если есть риск переполнения стека, используют нерекурсивные варианты поиска.

Первый вариант, простейший, но дающий немалый объём стека — до |E|.

1. Кладём в стек первую вершину.
2. Пока стек не пуст, берём верхнюю вершину, не извлекая.
   1. Если вершина белая…
      1. Красим в серый цвет.
      2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода (если таковой важен).
   2. Если вершина серая, красим в чёрный и извлекаем.
   3. Если вершина чёрная, просто извлекаем.

Если хватает двухцветных меток…

1. Кладём в стек первую вершину.
2. Пока стек не пуст, извлекаем верхнюю вершину. Если она белая…
   1. Красим в чёрный цвет.
   2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода.

Второй вариант: можно представить стек вызова программно: для каждой из серых вершин в стеке будет храниться её номер $u$ и номер текущей смежной вершины $w$.

Процедура DFS (параметр — вершина $u\in V$)

1. Кладём в стек пару $(u,\varnothing )$. Перекрашиваем вершину $u$ в серый цвет.
2. Пока стек не пуст…
   1. Берём верхнюю пару $(v,w)$, не извлекая её из стека.
   2. Находим вершину $w'$, смежную с $v$ и следующую за $w$.
      1. Если таковой нет, извлекаем $(v,w)$ из стека, перекрашиваем вершину $v$ в чёрный цвет.
      2. В противном случае присваиваем $w:=w'$, прямо в стеке.
         • Если к тому же вершина $w'$ белая, кладём на стек пару $(w',\varnothing )$, перекрашиваем $w'$ в серый цвет.

Третий вариант: можно в каждой из «серых» вершин держать текущее $w$ и указатель на предыдущую (ту, из которой пришли).

Поиск в глубину с метками времени. Классификация рёбер

Поиск в глубину с метками времени. Порядок выбора рёбер — слева направо.

Для каждой из вершин установим два числа — «время» входа $entry[u]$ и «время» выхода $leave[u]$.

Модифицируем процедуру DFS так.

1. Увеличиваем «текущее время» на 1. $entry[u]:=t$.
2. Перекрашиваем вершину $u$ в серый цвет.
3. Для всякой вершины $v$, смежной с вершиной $u$ и окрашенной в белый цвет, выполняем процедуру DFS(v).
4. Перекрашиваем вершину $u$ в чёрный цвет.
5. Увеличиваем «текущее время» на 1. $leave[u]:=t$.

Считаем, что граф ориентированный. Очевидно, для любой вершины, из которой мы не вышли в момент t, $entry[u]\leqslant t<leave[u]$. Также невозможно скрёстное неравенство: $entry[u]<entry[v]<leave[u]<leave[v]$. Просматриваемые на шаге 3 дуги u→v могут быть:

• $entry[u]<t+1=entry[v]<leave[v]<leave[u]$. В момент выполнения шага 3 (обозначенный как t) вершина v белая. В таком случае мы для вершины v исполняем DFS, а дуга называется дугой дерева поиска.
• $entry[u]<entry[v]<leave[v]\leqslant t<leave[u]$. В момент t вершина v чёрная, сравнение entry говорит, что в v попали из u. Такая дуга называется прямой.
• $entry[v]<leave[v]<entry[u]\leqslant t<leave[u]$. В момент t вершина v также чёрная, но сравнение entry говорит, что в v попали в обход u. Такая дуга называется перекрёстной.
• $entry[v]<entry[u]\leqslant t<leave[u]<leave[v]$. В момент t вершина v серая, то есть в u попали из v. Имеем дело с обратной дугой.

Рёбра неориентированного графа могут быть рёбрами дерева и обратными, но не прямыми и перекрёстными. Чтобы различать рёбра неориентированного графа, достаточно указанных выше трёх- или двухцветных отметок. Ребро, идущее в белую вершину,— ребро дерева. В серую (чёрную в двухцветном варианте) — обратное. В чёрную — такого не бывает.

Алгоритм Косарайю требует сортировки вершин в обратном порядке по времени выхода. Метка входа и типы рёбер нужны в алгоритмах поиска точек сочленения и мостов. Метки выхода в обратном порядке — топологический порядок вершин.

Применение

Поиск в глубину ограниченно применяется как собственно поиск, чаще всего на древовидных структурах: когда расстояние между точками малó, поиск в глубину может «плутать» где-то далеко.

Зато поиск в глубину — хороший инструмент для исследования топологических свойств графов. Например:

• В качестве подпрограммы в алгоритмах поиска одно- и двусвязных компонент.
• В топологической сортировке.
• Для поиска точек сочленения, мостов.
• Для преобразования синтаксического дерева в строку (любую: префиксную, инфиксную, обратную польскую).
• В различных расчётах на графах. Например, как часть алгоритма Диница поиска максимального потока.

Поиск в глубину — естественный выбор, когда агент (человек или робот) лично ходит по лабиринту и видит то, что непосредственно рядом с ним. «Правило левой руки» (идти, ведя левой рукой по стенке) будет поиском в глубину, если лабиринт древовидный (нет кружных путей).

См. также

• Поиск в ширину

Литература

• Левитин А. В. Глава 5. Метод уменьшения размера задачи: Поиск в глубину // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 212—215. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ(второе издание). — М.: «Вильямс», 2005. — С. 622—632.

Ссылки

• ВКИ НГУ: Методы программирования. Обходы графа.
• СпбГУ ИТМО, Факультет информационных технологий и программирования: Дискретная математика. Алгоритмы. Обход графа в глубину.
• Реализация поиска в глубину и различные задачи, решаемые с его помощью (сайт e-maxx.ru)
• Поиск в глубину
• Обход в глубину, цвета вершин — Викиконспекты ИТМО