Алгоритм Флойда — Уоршелла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Флойда — Уоршелла — динамический алгоритм для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного ориентированного графа. Разработан в 1962 году Робертом Флойдом и Стивеном Уоршеллом (англ.),

Алгоритм[править | править вики-текст]

Пусть вершины графа пронумерованы от 1 до и введено обозначение (i<j<k) для длины кратчайшего пути от до , который кроме самих вершин проходит только через вершины . Очевидно, что  — длина (вес) ребра , если таковое существует (в противном случае его длина может быть обозначена как ).

Существует два варианта значения :

  1. Кратчайший путь между не проходит через вершину , тогда
  2. Существует более короткий путь между , проходящий через , тогда он сначала идёт от до , а потом от до . В этом случае, очевидно,

Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений.

Тогда рекуррентная формула для имеет вид:

 — длина ребра

Алгоритм Флойда-Уоршелла последовательно вычисляет все значения для от 1 до . Полученные значения являются длинами кратчайших путей между вершинами

Псевдокод[править | править вики-текст]

На каждом шаге алгоритм генерирует матрицу Матрица содержит длины кратчайших путей между всеми вершинами графа. Перед работой алгоритма матрица заполняется длинами рёбер графа (или запредельно большим M, если ребра нет).

for k = 1 to n
  for i = 1 to n
    for j = 1 to n
      W[i][j] = min(W[i][j], W[i][k] + W[k][j])

Сложность алгоритма[править | править вики-текст]

Три вложенных цикла содержат операцию, исполняемую за константное время. то есть алгоритм имеет кубическую сложность, при этом простым расширением можно получить также информацию о кратчайших путях — помимо расстояния между двумя узлами записывать в матрицу идентификатор первого узла в пути.

Но существует решение и за где хранятся значения не для всех вершин, а только значения для предыдущей вершины, так как следующая получается рекурсивно.[источник не указан 486 дней]

Вариации алгоритма[править | править вики-текст]

Построение матрицы достижимости[править | править вики-текст]

Алгоритм Флойда-Уоршелла может быть использован для нахождения замыкания отношения по транзитивности. Для этого в качестве W[0] используется бинарная матрица смежности графа, ; оператор min заменяется дизъюнкцией, сложение заменяется конъюнкцией:

for k = 1 to n
  for i = 1 to n
    for j = 1 to n
      W[i][j] = W[i][j] or (W[i][k] and W[k][j])

После выполнения алгоритма матрица W является матрицей достижимости.

Использование битовых масок при реализации алгоритма позволяет существенно ускорить алгоритм. При этом сложность алгоритма снижается до , где  — длина битовой маски (в модели вычислений RAM). На практике, ещё бо́льшего ускорения можно достичь, используя такие специализированные наборы микропроцессорных команд, как SSE.

Литература[править | править вики-текст]