Пример Фюрстенберга

Пример Фюрстенберга — пример гладкой динамической системы на двумерном торе, которая минимальна, но не эргодична относительно меры Лебега.

Исторический контекст

Известная гипотеза, сформулированная в районе 70х годов многими авторами, утверждает, что для действия на окружности конечно-порождённой группы $C^{2}$—диффеоморфизмов, из минимальности (то есть отсутствия нетривиальных инвариантных замкнутых подмножеств) следует эргодичность (то есть отсутствие нетривиальных инвариантных измеримых подмножеств). Для случая одного диффеоморфизма окружности эта гипотеза была доказана одновременно Катком и Эрманом, для случая «неограниченно локально растягивающих» действий Салливаном.

Пример Фюрстенберга показывает, что утверждение этой гипотезы не может быть обобщено на случай двумерного фазового пространства, даже для случая одного диффеоморфизма.

Конструкция

Пример Фюрстенберга строится в классе косых произведений: он имеет вид

$F:\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2},\qquad (x,y)\mapsto (x+\alpha ,y+\varphi (x))$

((*))

где угол $\alpha$ иррационален.

Для системы вида (*) условие на то, что отображение $H:(x,y)\mapsto (x,y-h(x))$ сопрягает её с «постоянным сдвигом» $(x,y)\mapsto (x+\alpha ,y+\beta )$ — это гомологическое уравнение

$\varphi (x)-\beta =h(x+\alpha )-h(x)$

((**))

Необходимым условием его разрешимости является равенство $\beta =\int _{0}^{1}\varphi (x)\,dx$.

Рассмотрим функцию $\varphi (x)$ с нулевым интегралом. Тогда, для неэргодичности отображения $F$ достаточно его измеримого сопряжения с «горизонтальным поворотом» $(x,y)\mapsto (x+\alpha ,y)$ (поскольку последний сохраняет все горизонтальные окружности и потому, очевидно, неэргодичен). С другой стороны, наличие измеримого, но не непрерывного, решения гомологического уравнения ещё не влечёт нарушения минимальности. Более того, оказывается (см. ниже), что отображение $F$ минимально тогда и только тогда, когда у уравнения (**) нет непрерывных решений. Поэтому, достаточно построить пример функции $\varphi$ и угла $\alpha$, для которых уравнение (**) будет иметь лишь измеримое, но не непрерывное решение.

Но коэффициенты Фурье функции h ищутся из (**) явно:

$c_{k}(h)={\frac {c_{k}(\varphi )}{e^{2\pi ik\alpha }-1}}.$

Поэтому решение $h$ единственно, и задачу построения можно решать в другую сторону: найти измеримую, но не непрерывную функцию $h$ и иррациональный угол $\alpha$, такие, что функция $\varphi$ с коэффициентами Фурье

$c_{k}(\varphi )=(e^{2\pi ik\alpha }-1)\cdot c_{k}(h)$

была бы бесконечно гладкой.

Для этого, можно выбрать угол $\alpha$ достаточно хорошо приближающийся рациональными, и последовательно выбрать коэффициенты Фурье функции $h$ на местах k, соответствующих хорошим приближениям $\alpha$, разрушив непрерывность h, но сохранив гладкость $\varphi$.

Доказательство минимальности

Пусть $X\subset \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ — минимальное множество косого произведения $F$, заданного (*). Тогда, с одной стороны, $X$ (в силу минимальности иррационального поворота) должен проецироваться при проекции $(x,y)\mapsto x$ на всю окружность.

С другой стороны, отображение $F$ коммутирует с «вертикальными сдвигами» $T_{b}:(x,y)\mapsto (x,y+b)$. Поэтому все множества $X_{b}:=T_{b}(X)$ также являются минимальными. Наконец, два минимальных множества либо не пересекаются, либо совпадают. Поэтому группа «вертикальных самосовмещений» множества $X$

$G:=\{b\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} \mid T_{b}(X)=X\}=\{b\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} \mid X_{b}\cap X\neq \emptyset \}$

является замкнутой подгруппой окружности, и совпадает с группой самосовмещений пересечения $X$ с любой «вертикальной» окружностью $\{x=x_{0}\}$.

Поскольку $G$ — замкнутая подгруппа окружности, она может состоять:

• либо только из нуля,
• либо из конечного числа $k>1$ элементов, — в этом случае $G=\{0,1/k,\dots ,(k-1)/k\}$,
• либо совпадать со всей окружностью.

Поскольку группа $G$ является также группой самосовмещений любого «вертикального сечения» $X\cap \{x=x_{0}\}$, а проекция $X$ на ось $x$ это вся окружность, в первом случае $X$ это график некоторой непрерывной функции $h:S^{1}\to S^{1}$. Но график непрерывной функции инвариантен тогда и только тогда, когда соответствующее ей отображение $H:(x,y)\mapsto (x,y-h(x))$ сопрягает систему с горизонтальным сдвигом! В частности — в отсутствие такого сопряжения первый случай невозможен.

Из аналогичных соображений несложно увидеть, что второй случай соответствует инвариантному многозначному (определённому с точностью до $1/k$) графику, откуда из минимальности будет следовать, что «вектор сдвига» имеет ненулевой наклон (с тангенсом вида $p/k,\,p\neq 0$), поэтому среднее значение $\varphi$ на окружности не равно нулю.

Наконец, последний вариант означает, что X совпадает со всем тором (ибо его пересечение с любой вертикальной окружностью непусто и самосовмещается любым поворотом) — тем самым, отображение F минимально.

Литература

• H. Furstenberg. Strict ergodicity and transformations of the torus. Amer. J. Math. 83 (1961), p. 573—601
• A. Katok, B. Hasselblatt, Handbook of dynamical systems, v.1, p. 172, Corollary 7.5.4.