Минимальность (динамические системы)

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

Определения

Динамическая система $(X,T)$ называется минимальной, если для любого замкнутого

$A\subset X,\quad T(A)=A$,

либо $A$ пусто, либо совпадает со всем $X$.

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ фазового пространства системы $(X,T)$ называется минимальным множеством, если ограничение $(Y,T|_{Y})$ системы на него минимально.

Свойства

• Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
• Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).

Примеры

• Иррациональный поворот минимален.
• Сдвиг на постоянный вектор на торе $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над $\mathbb {Q}$.
• Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
• Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

Литература

Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 42. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.