Система Риса

Система Риса — такая система векторов $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in H$ в гильбертовом пространстве $H$ с заданными постоянными $A$ и $B$, что для любой последовательности комплексных чисел $c=\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in l_{2}$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n}$ сходится по норме в $H$, причём выполнено:

$A\|c\|_{l_{2}}^{2}\leqslant \left\|\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n}\right\|_{H}^{2}\leqslant B\|c\|_{l_{2}}^{2}$.

Базис Риса — такая система Риса, которая является базисом в $H$ (базисом Шаудера).

Базис Риса является обобщением понятия ортонормированного базиса, а двойное неравенство, данное в определении — обобщение неравенства Бесселя. Другое название базисов Риса — базисы, эквивалентные ортонормированным.

Система векторов является базисом Риса тогда и только тогда, когда она может быть получена из ортонормированного базиса с помощью ограниченного обратимого преобразования.

Любая система Риса является базисом Риса в пространстве:

$V=\left\{f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n},~~\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty \right\}$,

при этом для любого элемента $f\in V$ выполняется неравенство:

$A\|f\|^{2}\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }|(f,f_{n})|^{2}\leqslant B\|f\|^{2}$.

Любой базис Риса является безусловным базисом, то есть остаётся базисом после любой перестановки элементов.

Литература

• Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (недоступная ссылка), M.: Наука, 1965. — 448 c.
• Бари Н. К., Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве, Учен. зап. МГУ 148, Математика 4, 69—107.
• Авдонин С. А., К вопросу о базисах Рисса из показательных функций в $L^{2}$, Исследования по линейным операторам и теории функций. IV, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 39, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974, 176—177
• Орынбасаров Е. М., Садыбеков М. А., Базисность системы собственных и присоединенных функций краевой задачи со смещением для волнового уравнения, Матем. заметки, 51:5 (1992), 86-89.