Смешанное произведение: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Gvozdet (обсуждение | вклад) м →Ссылки |
Mousy (обсуждение | вклад) оформление, дополнение |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Сме́шанное произведе́ние''' <math> |
'''Сме́шанное произведе́ние''' <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})</math> [[вектор]]ов <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}</math> — [[скалярное произведение]] [[вектор]]а <math>\mathbf{a}</math> на [[векторное произведение]] [[вектор]]ов <math>\mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>: |
||
: <math>(\ |
: <math>(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \langle\mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rangle = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right)</math>. |
||
Иногда его называют ''тройным скалярным произведением'' векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является [[скаляр]] (точнее |
Иногда его называют ''тройным скалярным произведением'' векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является [[скаляр]] (точнее — [[псевдоскаляр]]). |
||
''Геометрический смысл:'' Смешанное произведение численно равно объёму [[параллелепипед |
''Геометрический смысл:'' Смешанное произведение численно равно объёму [[параллелепипед]]а, образованного [[вектор]]ами <math>\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c</math>. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* Смешанное произведение [[Косая симметрия|кососимметрично]] по отношению ко всем своим аргументам: |
* Смешанное произведение [[Косая симметрия|кососимметрично]] по отношению ко всем своим аргументам: |
||
: <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a)=(\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b)=-(\mathbf b,\mathbf a,\mathbf c)=-(\mathbf c,\mathbf b,\mathbf a)=-(\mathbf a,\mathbf c,\mathbf b);</math> |
|||
: т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что |
|||
: <math>\lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang</math> |
|||
* Смешанное произведение <math> ( \ |
* Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>: |
||
: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math> |
|||
: В частности, |
|||
** Если три вектора [[линейная независимость|линейно зависимы]] (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю. |
** Если три вектора [[линейная независимость|линейно зависимы]] (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю. |
||
* Геометрический смысл |
* Геометрический смысл — Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму [[параллелепипед]]а, образованного векторами <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c};</math> знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой. |
||
* Смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]]: |
* Смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]]: |
||
:<math>(\ |
: <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k </math> |
||
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов). |
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов). |
||
== Обобщение == |
== Обобщение == |
||
В <math>\ n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины |
В <math>\ n</math>-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы <math> n \times n </math>, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный <math>\ n</math>-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика). |
||
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]] соответствующей размерности: |
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью [[символ Леви-Чивита|символа (тензора) Леви-Чивиты]] соответствующей размерности: |
||
:<math>(\ |
: <math>(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c, \ldots) = \sum_{i,j,k,\ldots} \varepsilon_{ijk\ldots}a^i b^j c^k \ldots</math> |
||
Строка 33: | Строка 38: | ||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
||
[[Категория: |
[[Категория:Векторный анализ]] |
||
[[Категория:Векторы]] |
[[Категория:Векторы]] |
||
Версия от 14:50, 25 июня 2009
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
- .
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Смешанное произведение численно равно объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Свойства
- Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
- т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
- Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
- В частности,
- Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
- Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
- Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
Обобщение
В -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:
В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.
См. также
Ссылки
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |