Псевдоскалярное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Magnitude cross product.png

Псевдоскалярным[1] или косым произведением векторов и на плоскости называется число

где  — угол вращения (против часовой стрелки) от к . Если хотя бы один из векторов и нулевой, то полагают . Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Линейность: Здесь ,  — произвольные вещественные числа.
  • Антикоммутативность: .
  • является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
  • Псевдоскалярное произведение  — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы и .
    • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения  — это площадь такого параллелограмма.
    • Ориентированная площадь треугольника выражается формулой
    а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.
  • Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то
где «» и «» соответственно — векторное и скалярное произведение, а  — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором , образует также правый базис; в противном случае минус.
  •  — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением.
  • Из линейности и антикоммутативности следует, что если на плоскости задан ортонормированный базис и два вектора, имеющих в нём координаты то их псевдоскалярное произведение равно определителю

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Прасолов В. В., Задачи по планиметрии. — 4-е изд., дополненное — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. ; ISBN 5-900916-82-0.