Смешанное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сме́шанное произведе́ние (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) векторов \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} — скалярное произведение вектора \mathbf{a} на векторное произведение векторов \mathbf{b} и \mathbf{c}:

(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf c) = \mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf c\right).

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c.

Свойства[править | править исходный текст]

(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf b,\mathbf c,\mathbf a)=(\mathbf c,\mathbf a,\mathbf b)=-(\mathbf b,\mathbf a,\mathbf c)=-(\mathbf c,\mathbf b,\mathbf a)=-(\mathbf a,\mathbf c,\mathbf b);
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
\lang \mathbf a, [\mathbf b, \mathbf c]\rang = \lang [\mathbf a, \mathbf b], \mathbf c\rang
  • Смешанное произведение  ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов  \mathbf{a}, \mathbf{b} и \mathbf{c}:
 ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.
  • Смешанное произведение  ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов  \mathbf{a}, \mathbf{b} и \mathbf{c}, взятому со знаком «минус»:
 ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}.
В частности,
  • Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение  ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами  \mathbf{a}, \mathbf{b} и \mathbf{c}; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
  • Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]:215.
Три вектора, определяющие параллелепипед.
(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c) = \sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a^i b^j c^k

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение[править | править исходный текст]

В \ n-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы  n \times n , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный \ n-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c, \ldots) = \sum_{i,j,k,\ldots} \varepsilon_{ijk\ldots}a^i b^j c^k \ldots

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Ссылки[править | править исходный текст]