Кратность критической точки: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] гладкого отображения <math>f: \R^n\to\R</math> — [[размерность]] так называемой '''локальной алгебры |
'''Кратность''' [[Критическая точка (математика)|критической точки]] гладкого отображения <math>f: \R^n\to\R</math> — [[размерность]] так называемой '''локальной алгебры градиентного отображения'''. |
||
{{рамка}} |
{{рамка}} |
||
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
Пусть <math>f: \R^n\to\R</math> — гладкая функция от <math>n</math> переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math>, имеющая <math>O\in\R^n</math> своей критической точкой. Соответствующее '''градиентное отображение''' <math>\nabla f: \R^n\to\R^n</math> задается формулой <math>(x_1, \ldots, x_n) \mapsto (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n).</math> Введем следующие обозначения: |
||
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — алгебра [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
* <math>\R[[x_1, \ldots, x_n]]</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра]] [[Степенной ряд|формальных степенных рядов]] от переменных <math>x_1, \ldots, x_n</math> с центром в <math>O.</math> |
||
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
* <math>I_{\nabla f} = (\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n)</math> — [[Идеал (алгебра)|идеал]] в алгебре гладких функций, порожденный образующими <math>\partial f/\partial x_1, \ldots, \partial f/\partial x_n.</math> |
||
Версия от 19:05, 7 августа 2010
Кратность критической точки гладкого отображения — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.
Пусть — гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью отображения в точке Шаблон:/рамка В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. СлучайВ этом случае кратность критической точки может быть определена следующим условием:
Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е. Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид Теорема деления
|