Кратность критической точки: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
|||
Строка 46: | Строка 46: | ||
Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]] для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref> |
Впервые эта теорема была доказа [[Вейерштрасс|Вейерштрассом]] для [[Голоморфная функция|голоморфных функциий]] комплексных переменных<ref>''Weierstrass K.'' Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.</ref> |
||
(теорема деления ''по Вейерштрассу''). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления ''по Мальгранжу'' или ''по Мазеру''. |
(теорема деления ''по Вейерштрассу''). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления ''по Мальгранжу'' или ''по Мазеру''. |
||
Из теоремы деления вытекает следующее полезное следствие: |
|||
'''Следствие'''. |
|||
Если [[росток (математика)|росток]] гладкой функции <math>f(x,y_1, \ldots, y_n)</math> обращается в нуль на гиперплоскости <math>x=0</math>, то он представим в виде <math>f=x g(x,y_1, \ldots, y_n),</math> где <math>g</math> — гладкая функция. |
|||
'''Доказательство'''. Докажем утверждение для функции <math>f(x,y_1, \ldots, y_n),</math> удовлетворяющей условию (*) с некоторым конечным <math>\mu>0</math>. Добиться выполнения этого условия можно всегда, прибавив к функции <math>f</math> многочлен <math>c_{\mu}x^{\mu}+\cdots+c_1x</math>, что, очевидно, не меняет доказываемого утверждения. Тогда в окрестности точки <math>0</math> функция <math>f</math> представима в виде (**), где стоящее в скобках выражение тождественно обращается в нуль при <math>x=0</math>. Отсюда следует, что <math>a_{\mu}(y_1, \ldots, y_n) \equiv 0</math>. Вынося за скобки общий множитель <math>x</math>, получаем требуемое представление функции <math>f</math>. |
|||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 10:20, 30 января 2011
Кратность критической точки гладкого отображения — размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения.
Пусть — гладкая функция от переменных , имеющая своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение задается формулой Введем следующие обозначения:
Локальной алгеброй градиентного отображения в точке называется факторалгебра а её размерность называется кратностью отображения в точке Шаблон:/рамка В случае, когда функции имеют в точке линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции отличен от нуля), кратность , и критическая точка называется невырожденной. Удобно также положить в случае некритической точки. СлучайВ этом случае кратность критической точки может быть определена следующим условием:
Значение соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции начинается с члена то любой элемент представим в виде , где и — многочлен степени задаваемый коэффициентами, т.е. Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности существуют координаты, в которых функция имеет вид Теорема деления
|