Сходимость по Чезаро: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Строка 13: | Строка 13: | ||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
При ''k = 0'' сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при ''k = 1'' ряд является сходящимся с суммой ''S'', если <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{ |
При ''k = 0'' сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при ''k = 1'' ряд является сходящимся с суммой ''S'', если <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S,</math> де <math> s_j = a_1 + \cdots + a_j</math> — частичные суммы ряда. |
||
Методы ''(C, k)'' нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при <math>k \geq 0</math> и не являются регулярными при <math>k < 0</math>. Сила метода возрастает с увеличением ''k'': если ряд является сходящимся для ''k'', то он является сходящимся с той же суммой для ''k<sup>'</sup>'' при ''k<sup>'</sup> > k > −1''. |
Методы ''(C, k)'' нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при <math>k \geq 0</math> и не являются регулярными при <math>k < 0</math>. Сила метода возрастает с увеличением ''k'': если ряд является сходящимся для ''k'', то он является сходящимся с той же суммой для ''k<sup>'</sup>'' при ''k<sup>'</sup> > k > −1''. |
||
Строка 22: | Строка 22: | ||
Сходимость по Чезаро ''(C, k)'' равносильна и совместима со сходимостью Гельдера ''(H, k)'' и Рисса ''(R, n, k)'' (k >0). При любом ''k > −1'' метод ''(C, k)'' слабее метода Абеля. |
Сходимость по Чезаро ''(C, k)'' равносильна и совместима со сходимостью Гельдера ''(H, k)'' и Рисса ''(R, n, k)'' (k >0). При любом ''k > −1'' метод ''(C, k)'' слабее метода Абеля. |
||
== Пример == |
== Пример == |
Версия от 17:43, 10 сентября 2011
Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро[1]. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.
Определение
Ряд называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:
где определяются как коэффициенты разложения:
Свойства
При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если де — частичные суммы ряда.
Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при и не являются регулярными при . Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k' при k' > k > −1.
При k <-1 это свойство не сохраняется.
Если ряд является (C, k)-сходящимся, то .
Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гельдера (H, k) и Рисса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.
Пример
Пусть an = (-1)n+1 для n ≥ 1. То есть, {an} является последовательностью
Последовательность частичных сумм {sn} имеет вид:
и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s1 + … + sn)/n} являются
и в общей сложности
Поэтому ряд является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сума равна 1/2.
См. также
Примечания
- ↑ Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;
Ссылки
- Сходимость по Чезаро (англ.) на сайте PlanetMath.
Литература
- Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
- Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
- Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
- Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .