Сходимость по Борелю: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
EmausBot (обсуждение | вклад) м Перемещение 9 интервики-ссылок в Викиданные (d:Q2329388) |
|||
Строка 33: | Строка 33: | ||
[[Категория:Математический анализ]] |
[[Категория:Математический анализ]] |
||
[[ca:Sumatori de Borel]] |
|||
[[en:Borel summation]] |
|||
[[eo:Sumado de Borel]] |
|||
[[es:Sumación de Borel]] |
|||
[[fr:Sommation de Borel]] |
|||
[[it:Somma di Borel]] |
|||
[[pt:Soma de Borel]] |
|||
[[tr:Borel toplamı]] |
|||
[[uk:Збіжність за Борелем]] |
Версия от 22:02, 13 марта 2013
Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. В общем, существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.
Определение
- Пусть дан числовой ряд Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:
- где Sk — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.
- Пусть дан числовой ряд Ряд называется сходящимся по Борелю (или B'-сходящимся), если существует интеграл:
Пример
Рассмотрим ряд Данный ряд является расходящимся для произвольного Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:
и сумма является определённой для отрицательных значений x.
Свойства
Пусть функция:
регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку проведём отрезок и прямую , которая проходит через точку Р перпендикулярно к . Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых обозначим . Тогда граница области называется многоугольником Бореля функции f(z), а область её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд
является B-сходящимся в области и не является B-сходящимся в области — дополнены до .
См. также
Ссылки
- Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- Borel Summation
Литература
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
- Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .