Предел функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
x \frac{\sin x}{x}
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983

Хотя функция \frac{\sin x}{x} в нуле не определена, когда x приближается к нулю, но её значение становится сколь угодно близко к 1 в окрестности нуля, иными словами — предел функции в нуле равен 1.

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Определения[править | править исходный текст]

Рассмотрим функцию f \left( x \right), определённую на некотором множестве ~X, которое имеет предельную точку ~x_0 (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне[править | править исходный текст]

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любой последовательности точек \left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}, сходящейся к ~x_0, но не содержащей ~x_0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ~x_0 ), последовательность значений функции \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty} сходится к ~A.[1]

Предел функции по Коши[править | править исходный текст]

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любого наперёд взятого положительного числа \varepsilon найдётся отвечающее ему положительное число \delta = \delta \left( \varepsilon \right) такое, что для всех аргументов ~x, удовлетворяющих условию 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta, выполняется неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.[1]

\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right)>0 ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

Окрестностное определение предела по Коши[править | править исходный текст]

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любой окрестности O \left( A \right) точки ~A существует выколотая окрестность \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) точки ~x_0 такая, что образ этой окрестности f \left( \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \right) лежит в O \left( A \right). Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall O \left( A \right) ~ \exists \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \colon f \left( \overset{\vee}{\mathop{O}} \left( x_0 \right) \right) \subset O \left( A \right)

Предел по базе множеств[править | править исходный текст]

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть \mathcal{B} — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

  • число A называется пределом функции по (при) базе \mathcal{B}, если для всякого \varepsilon>0 найдётся такой элемент B базы, что для любого x\in B выполнено |f(x)-A|<\varepsilon.

Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение «x\to a, x\in E» и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с \mathbb{R}, то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «x\to a» и читается «при x, стремящемся к a».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

  • E_{a}^{-}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{-}, где \mathbb{R}_{a}^{-}=\{x\in\mathbb{R}\colon x<a\};
  • E_{a}^{+}=E\cap\mathbb{R}_{a}^{+}, где \mathbb{R}_{a}^{+}=\{x\in\mathbb{R}\colon x>a\}.

Соответственно этому вводятся две базы:

  • «x\to a, x\in E_{a}^{-}», которая коротко обозначается в виде «x\to a-, x\in E» или ещё проще «x\to a-»;
  • «x\to a, x\in E_{a}^{+}», которая коротко обозначается в виде «x\to a+, x\in E» или ещё проще «x\to a+».


Эквивалентность определений[править | править исходный текст]

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Односторонний предел[править | править исходный текст]

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра[править | править исходный текст]

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности[править | править исходный текст]

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне[править | править исходный текст]

  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного ~\delta в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка \left[ -\delta, +\delta \right]. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k > 0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty} сходится к числу ~A.
    \lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \colon \left( \forall k \in \N \colon x_k < 0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A

Предел на бесконечности по Коши[править | править исходный текст]

  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного ~\delta в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка \left[ -\delta, +\delta \right]. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на бесконечности, если для произвольного положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек, превышающих ~\delta по абсолютному значению, справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon \left| x \right| > \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек, лежащих правее ~\delta, справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon x > \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon
  • Пусть числовая функция ~f \left( x \right) задана на множестве ~X, в котором для любого числа ~\delta найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа ~\varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~\delta такое, что для всех точек, лежащих левее ~\left( -\delta \right), справедливо неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.
    \lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0 ~ \forall x \in X \colon x < -\delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

Окрестностное определение по Коши[править | править исходный текст]

Пусть функция ~f \left( x \right) определена на множестве ~X, имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка ~A называется пределом функции ~f \left( x \right) на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки ~A.

\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall O \left( A \right) ~ \exists O \left( 0 \right) \colon f \left( X \setminus O \left( 0 \right) \right) \subset O \left( A \right)

Обозначения[править | править исходный текст]

Если в точке ~x_0 у функции ~f \left( x \right) существует предел, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к ~x_0, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to x_0]{} A.

Если у функции ~f \left( x \right) существует предел на бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to \infty]{} A.

Если у функции ~f \left( x \right) существует предел на плюс бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to +\infty} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to +\infty]{} A.

Если у функции ~f \left( x \right) существует предел на минус бесконечности, равный ~A, то говорят, что функция ~f \left( x \right) стремится к ~A при стремлении ~x к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

  • \lim_{x \to -\infty} f \left( x \right) = A, или
  • f \left( x \right) \xrightarrow[x \to -\infty]{} A.

Свойства пределов числовых функций[править | править исходный текст]

Пусть даны функции f,g:M\subset \R \to \R, и a \in M'..

  • Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
    \left( \lim_{x \to a} f \left( x \right) = A_1 \right) \land \left( \lim_{x \to a} f \left( x \right) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2)
  • Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),
где \dot{U}_{\epsilon}(a) — проколотая окрестность точки a.
  • В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);
  • Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);
  • Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
    \exists \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \ne 0\Rightarrow \exists \delta >0:\ \forall x \in \dot{U}_{\delta}(a) \quad |f(x)|\ge \frac{A}{2}
  • Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
    \left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge  \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);
  • Предел суммы равен сумме пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);
  • Предел разности равен разности пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);
  • Предел произведения равен произведению пределов:
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);
  • Предел частного равен частному пределов.
    \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).

Примеры[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

Литература[править | править исходный текст]

  • Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ. — М..

Ссылки[править | править исходный текст]