Двойственное пространство: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 5: | Строка 5: | ||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
=== Конечномерные пространства === |
|||
* |
* Сопряжённое пространство <math>E^*</math> имеет ту же [[Размерность пространства|размерность]], что и пространство <math>E</math> над полем <math>F</math>. Следовательно, пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> [[Изоморфизм|изоморфны]]. |
||
⚫ | |||
⚫ | *Каждому базису <math> |
||
: <math>e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.</math> |
: <math>e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E.</math> |
||
* Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть |
* Если пространство <math>E</math> [[евклидово пространство|евклидово]], то есть на нём определено [[скалярное произведение]], то между <math>E</math> и <math>E^*</math> существует так называемый ''канонический изоморфизм'', определённый соотношением |
||
: <math>v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E.</math> |
: <math>v \in E \mapsto f \in E^*, \quad f(x) = \langle x, v \rangle, \ \forall x\in E.</math> |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | * Определенный выше канонический изоморфизм <math>E \to E^{**}</math> показывает, что пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для <math>x\in E, \ f\in E^*</math> часто пишут <math>f(x)= (x, f)</math> подобно записи скалярного произведения. |
||
=== Бесконечномерные пространства === |
|||
* Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>. |
* Если пространство <math>E</math> [[Гильбертово пространство|гильбертово]], то по [[Теорема представлений Рисса|теореме Рисса]] существует изоморфизм между <math>E</math> и <math>E^*</math>. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | * Определенный выше канонический изоморфизм <math>E \to E^{**}</math> показывает, что пространства <math>E</math> и <math>E^{*}</math> играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для <math>x\in E, \ f\in E^*</math> часто пишут <math>f(x)= (x, f)</math> подобно записи скалярного произведения. |
||
== Обозначения == |
== Обозначения == |
Версия от 18:54, 12 мая 2016
Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.
Определение
Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве , также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается .
Свойства
Конечномерные пространства
- Сопряжённое пространство имеет ту же размерность, что и пространство над полем . Следовательно, пространства и изоморфны.
- Каждому базису пространства можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис пространства , где функционал — проектор на вектор :
- Если пространство евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между и существует так называемый канонический изоморфизм, определённый соотношением
- Второе сопряжённое пространство изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между и (при этом не предполагается, что пространство евклидово), определённый соотношением
- Определенный выше канонический изоморфизм показывает, что пространства и играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для часто пишут подобно записи скалярного произведения.
Бесконечномерные пространства
- Если пространство гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между и .
Обозначения
В конечномерном случае обычно элементы пространства обозначают вектором-столбцом, а элементы — вектором-строкой [источник не указан 4750 дней]. В тензорном исчислении применяется обозначение для элементов (верхний, или контравариантный индекс) и для элементов (нижний, или ковариантный индекс).
Вариации и обобщения
- В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
- Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
- При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи желательно:
|