Теорема Штейнера — Лемуса

$|AE|=|BD|,\,\alpha =\beta ,\,\gamma =\delta$

Теорема Штейнера — Лемуса теорема геометрии треугольника. Известно как с виду простое утверждение которое не имеет простого классического доказательства, хотя алгебраическое доказательство можно легко провести аналитически.

Формулировка

Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.

История доказательства

Впервые доказательство было дано в работах немецких геометров Штейнера и Лемуса. С тех пор это утверждение носит их имя.

В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в . Оно строится от противного, далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.

В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Аналитическое доказательство следует из формулы на длину биссектрисы

$l_{c}={\frac {\sqrt {4abp(p-c)}}{a+b}}.$

Вариации и обобщения

• Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник Ботемы — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис, внешних к первым двум углам, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 335-338. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 31. — ISBN 5-94057-170-0.
• Weisstein, Eric W. Steiner–Lehmus theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Несколько доказательств теоремы Штейнера — Лемуса (англ.)