Устойчивость (динамические системы): различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
KIRIGAM (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Bezik (обсуждение | вклад) Отклонены последние 2 изменения (KIRIGAM): та що ви таке кажете! |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Другие значения| |
{{Другие значения|Устойчивость}} |
||
В [[математика|математике]], решение [[дифференциальные уравнения|дифференциального уравнения]] (или, шире, траектория в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]] точки состояния [[динамическая система|динамической системы]]) называется '''устойчивым''', если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точке]], поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции. |
|||
В [[математика|математиці]], рішення [[дифференциальные уравнения|диференціального рівняння]] (Або, ширше, траєкторія у [[Фазовое пространство|фазовому просторі]] точки стану [[динамическая система|динамічної системи]]) називається '''стійким''', якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, |
|||
отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунову]], асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особливій точці]], оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції. |
|||
== Постановка |
== Постановка задачи устойчивости [[Динамическая система|динамических систем]] == |
||
Пусть <math>\Omega</math> — область пространства <math>\mathbb{R}^n</math>, содержащая начало координат, <math>I = [\tau; \infty)</math>, где <math>\tau \in \mathbb{R}^1</math>. Рассмотрим систему (1) вида: |
|||
{{формула|<math> \left\{ |
{{формула|<math> \left\{ |
||
Строка 14: | Строка 13: | ||
</math>|(1)}} |
</math>|(1)}} |
||
При |
При любых <math>(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' системы (1), удовлетворяющее начальным условиям ''x(t<sub>0</sub>, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>.'' Будем предполагать, что решение ''x(t, t<sub>0</sub>, x<sub>0</sub>)'' определено на интервале <math>J^+ = [t_0; \infty)</math>, причём <math>J^+ \subset I</math>. |
||
== Устойчивость по Ляпунову == |
|||
== Стійкість за Ляпуновим == |
|||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется устойчивым по [[Ляпунов, Александр Михайлович|Ляпунов]]у, если для любых <math>t_0 \in I</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от ''ε'' и ''t<sub>0</sub>'' и не зависящее от ''t'', такое, что для всякого ''x<sub>0</sub>'', для которого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решение ''x'' системы с начальными условиями x(t<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub> продолжается на всю полуось t > t<sub>0</sub> и удовлетворяет неравенству <math>\|x(t)\| < \varepsilon</math>. |
|||
Символически это записывается так: |
|||
Символічно це записується так: |
|||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
||
== |
== Равномерная устойчивость по Ляпунову == |
||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε: |
|||
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
<math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall t_0 \in I)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math> |
||
== |
== Неустойчивость по Ляпунову == |
||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если: |
|||
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math> |
<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math> |
||
== Асимптотическая устойчивость == |
|||
== Асимптотична стійкість == |
|||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие <math>\lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0</math> для всякого ''x'' с начальным условием ''x<sub>0</sub>'', лежащим в достаточно малой окрестности нуля. |
|||
=== Эквиасимптотическая устойчивость === |
|||
=== Еквіасимптотична стійкість === |
|||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее. |
|||
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається еквіасимптотично стійким, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно притягуєче. |
|||
=== Равномерная асимптотическая устойчивость === |
|||
=== Рівномірна асимптотична стійкість === |
|||
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее. |
|||
Тривіальне рішення системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким, якщо воно стійке і еквіпритягуєче. |
|||
=== Асимптотическая устойчивость в целом === |
|||
=== Асимптотична стійкість в цілому === |
|||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее. |
|||
Тривіальне рішення ''x = 0'' системы (1) називається асимптотично стійким в цілому, якщо воно стійке і глобальнопрягуюче. |
|||
=== Равномерная асимптотическая устойчивость в целом === |
|||
=== Рівномірна асимптотична стійкість в цілому === |
|||
Тривиальное решение ''x = 0'' системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее. |
|||
Тривіальне рішення ''x = 0'' системи (1) називається рівномірно асимптотично стійким в цілому, якщо воно рівномірно стійке і рівномірно глобальнопритягуюче. |
|||
== |
== См. также == |
||
* [[Теорема Лагранжа |
* [[Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия]] |
||
== |
== Литература == |
||
* {{книга |
* {{книга |
||
|автор = Беллман Р. |
|автор = Беллман Р. |
||
Строка 107: | Строка 106: | ||
}} |
}} |
||
[[Категория: |
[[Категория:Математическое моделирование]] |
||
[[Категория: |
[[Категория:Динамические системы]] |
||
[[Категория:Теория устойчивости]] |
[[Категория:Теория устойчивости]] |
Версия от 17:26, 26 мая 2017
В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория в фазовом пространстве точки состояния динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с условиями близкими к начальным «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путём замены неизвестной функции.
Постановка задачи устойчивости динамических систем
Пусть — область пространства , содержащая начало координат, , где . Рассмотрим систему (1) вида:
((1)) |
При любых существует единственное решение x(t, t0, x0) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t0, t0, x0) = x0. Будем предполагать, что решение x(t, t0, x0) определено на интервале , причём .
Устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых и существует , зависящее только от ε и t0 и не зависящее от t, такое, что для всякого x0, для которого , решение x системы с начальными условиями x(t0) = x0 продолжается на всю полуось t > t0 и удовлетворяет неравенству .
Символически это записывается так:
Равномерная устойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:
Неустойчивость по Ляпунову
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:
Асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие для всякого x с начальным условием x0, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.
Эквиасимптотическая устойчивость
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.
Равномерная асимптотическая устойчивость
Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.
Асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.
Равномерная асимптотическая устойчивость в целом
Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.
См. также
Литература
- Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. — ИЛ, 1954.
- Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гостехиздат, 1955.
- Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
- Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966.
- Демидович Б. П. Глава II, §1, Основные понятия теории устойчивости // Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
- Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Глава I, Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X..
- Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: РХД, 2000. — 176 с.