Теорема Прингсхайма

Теоре́ма Прингсхайма — утверждение комплексного анализа, дающее достаточные условия существования особой точки на границе круга сходимости степенного ряда; впервые сформулирована и доказана Альфредом Прингсхаймом. Согласно теореме, если коэффициенты ряда:

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

с единичным кругом сходимости суть действительные неотрицательные числа $a_{n}\geqslant 0$ , то точка $z=1$ является особой для суммы ряда.

Следствия из теоремы используются в комбинаторике^[1] и в теореме Фробениуса — Перрона о положительных операторах на упорядоченных векторных пространствах^[2]^[3], в теории сходимости рядов Фурье^[4].

Примечания

↑ Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 0-521-89806-4
↑ Samuel Karlin and H. M. Taylor. «A First Course in Stochastic Processes.» Academic Press, 1975 (second edition). Samuel Karlin. «Mathematical Methods and Theory in Games, Programming, and Economics.» Dover Publications, 1992. ISBN 978-0-486-67020-1.
↑ Schaefer, Helmuth H. Topological vector spaces (неопр.). — New York: Springer-Verlag, 1971. — Т. 3. — (GTM). — ISBN 0-387-98726-6.
↑ Б. И. Голубов. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной обобщенной вариации. / Sibirskij matematiceskij zurnal (1974) Volume: 15, Issue: 4, page 767—783 ISSN: 0037-4466; 1573-9260/e (неопр.). Дата обращения: 10 декабря 2019. Архивировано 10 декабря 2019 года.

А. И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1966. — 387 с.