Интеграл Норлунда — Райса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интеграл Норлунда — Райса (метод Райса) — интеграл, связывающий конечных разностей с криволинейным интегралом в комплексной плоскости. Интеграл используется в теории конечных разностей, а также в Информатике и теории графов для оценки длины двоичного дерева.

Интеграл назван в честь Нильса Э. Норлунда (англ.) и Стефана О. Райса; Норлунд определил интеграл; Райс нашёл ему применение в методе перевала.

Определение[править | править вики-текст]

Для мероморфной функции конечную разность можно представить в виде:

где
 — Биномиальный коэффициент.

Переходя к интегрированию в окрестности полюсов точек и при условии, что функция полюсов не имеет, получим:

для .

Интеграл также можно записать в виде:

где
 — бета-функция Эйлера.

Если функция полиномиально ограничена, например, справа, то интеграл можно продлить направо до бесконечности, получив запись:

где

Цикл Пуассона — Меллина — Ньютона[править | править вики-текст]

Пусть  — некая последовательность и пусть  — некая производящая функция последовательности, причём

Используя преобразование Меллина, получим, что

Тогда можно найти исходную последовательность с помощью интеграла Норлунда — Райса:

где
 — гамма-функция.

Применение[править | править вики-текст]

Это интегральное представление интересно тем, что интеграл Норлунда — Райса часто может быть оценён с использованием методов асимптотического разложения или методом перевала.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]