Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники

Разбиение квадрата на 6 равновеликих треугольников.

Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади.

Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.

История

Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году.

О доказательстве

Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.

Главные свойства раскраски состоят в следующем:

1. Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
   • В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
2. Любая прямая окрашена ровно в два цвета.

Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.

Вариации и обобщения

• $N$-мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно $N!$.
• Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
• Для целого числа $n\geqslant 5$, правильный $n$-угольник допускает разрезание на $m$ равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда $m$ делится на $n$.
• Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы.

Литература

• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.