Теорема о сложении скоростей

Теоре́ма о сложе́нии скоросте́й — одна из теорем кинематики, связывает между собой скорости материальной точки в различных системах отсчёта. Утверждает, что при сложном движении материальной точки вектор её абсолютной скорости равен векторной сумме её относительной и переносной скоростей.

Сложное движение

Основная статья: Сложное движение

Сложное движение.

Движение в механике всегда рассматривается по отношению к какой-либо системе отсчёта (СО). Однако в некоторых случаях бывает целесообразно или даже необходимо изучать движение материальной точки (МТ) относительно двух различных систем отсчёта одновременно. Одну из этих систем отсчёта условно считают неподвижной, базовой, а другую полагают движущейся относительно первой. Тогда движение точки можно рассматривать, как состоящее из двух движений: первое — движение относительно движущейся системы отсчёта, второе — движение вместе с движущейся системой относительно неподвижной. Такое движение точки называют сложным или составным.

Определения

Условно неподвижную систему отсчёта принято называть абсолютной. Соответственно, абсолютными называют движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой СО. На рисунке система отсчёта K выбрана в качестве абсолютной.

Условно подвижную систему отсчёта принято называть относительной. Движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой системы также именуют относительными. Система K' на рисунке является относительной.

Движение, совершаемое подвижной системой K' и всеми жёстко связанными с нею точками пространства относительно системы К, называют перено́сным. Если некоторая МТ движется относительно подвижной системы K', то в общем случае та точка системы K', в которой в данный момент находится МТ, также движется относительно неподвижной системы К. Мгновенную скорость этой точки системы K' называют переносной скоростью МТ.

Доказательство

Пусть МТ в некоторый момент времени находилась в точке А, а через промежуток времени $\Delta t$ оказалась в точке В (см. рис.). Тогда её перемещение относительно системы К (абсолютное перемещение) будет равно ${\vec {S}}_{a}$. Точка А подвижной системы K' за время ${\displaystyle }$ переместилась вместе с K' и оказалась в точке С, совершив перемещение относительно системы К (переносное перемещение), изображённое на рисунке вектором ${\vec {S}}_{e}$. С точки зрения наблюдателя, связанного с системой K', точка С является той точкой, в которой МТ находилась первоначально, поэтому вектор ${\vec {S}}_{r}$ представляет собой перемещение МТ относительно подвижной системы K', то есть относительное перемещение. Из сказанного и векторной диаграммы на рисунке следует

${\vec {S}}_{a}={\vec {S}}_{e}+{\vec {S}}_{r}.$

Деля данное равенство на промежуток времени $\Delta t$, а затем устремляя его к нулю, в пределе получаем

${\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},$

где ${\vec {v}}_{a}$ — абсолютная, ${\vec {v}}_{e}$ — переносная, а ${\vec {v}}_{r}$ — относительная скорость движения МТ.

Полученное равенство является математическим выражением теоремы о сложении скоростей, которая формулируется так:

При сложном движении абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Теорему о сложении скоростей называют также правилом параллелограмма скоростей.

Обсуждение

В общем случае движение системы K' можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью, равной скорости начала координат системы K', и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Можно показать, что переносная скорость ${\vec {v}}_{e}$, скорость начала координат ${\vec {v}}_{0}$ и угловая скорость вращательного движения системы ${\vec {\omega }}$ связаны соотношением

${\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}].$

С учётом этого равенства математическое выражение теоремы приобретает вид

${\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}]+{\vec {v}}_{r}.$

Утверждение теоремы, доказанное для двух систем отсчёта нетрудно обобщить на случай произвольного их количества. Действительно, предположим, что считавшаяся нами до сих пор неподвижной система К движется относительно некоторой третьей системы. Тогда для абсолютной скорости ${\vec {v'_{a}}}$ МТ в этой системе в силу доказанной теоремы будет выполняться

${\vec {v'_{a}}}={\vec {v'_{e}}}+{\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},$

где ${\vec {v'_{e}}}$ — переносная скорость точки системы К, в которой в данный момент времени находится МТ, движение которой мы изучаем. Очевидно, что рассуждая аналогичным образом, можно получить формулу сложения скоростей, пригодную для любого количества систем отсчёта.

Утверждение теоремы о сложении скоростей справедливо только до тех пор, пока скорости, о которых идёт речь в теореме, много меньше скорости света. В противном случае следует использовать релятивистскую формулу сложения скоростей.

Замечание. Радиус-вектор $r(t)$ МТ в системе отсчёта К всегда можно представить в виде суммы двух векторов:

${\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)+{\vec {r'}}(t),$

где ${\vec {R}}(t)$ — радиус-вектор начала подвижной системы координат, а ${\vec {r'}}(t)$ — радиус-вектор МТ в подвижной системе K'. После дифференцирования из равенства следует

${\vec {v}}_{a}={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}.$

Полученное соотношение справедливо для любой МТ и для любого момента времени. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае первый член суммы не равен переносной скорости, а второй — не равен относительной скорости. Действительно, ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}$ — это скорость начала системы координат K' ${\vec {v}}_{0}$ и при наличии вращения системы K' не совпадает со скоростью той точки системы, в которой в данный момент находится МТ. В свою очередь ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}$ представляет собой скорость МТ относительно начала координат, то есть, определяется иначе, чем относительная скорость ${\vec {v}}_{r}$. Равенства ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{e}$ и ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{r}$ выполняются только в тех случаях, когда система K' движется поступательно, то есть когда она не совершает поворотов (${\vec {\omega }}=0$) и все её точки движутся одинаково.

Примеры

1. В системе отсчёта, связанной с Землёй, скорость пассажира, идущего по коридору вагона, можно рассматривать, как складывающуюся из двух скоростей. Первая из них — скорость, с которой движется точка вагона, в которой в данный момент находится пассажир, — переносная скорость, то есть скорость, с которой вагон «переносит» пассажира. Второе слагаемое — скорость движения пассажира относительно вагона. Если вагон движется по закруглению пути, то направление абсолютной скорости пассажира изменяется за счёт изменения переносной скорости.
2. Абсолютная скорость мухи, ползущей по вращающейся граммофонной пластинке, равна геометрической сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно Земли — переносной скорости.
3. Движение точки колеса (окружности), катящегося по горизонтальной поверхности без проскальзывания, можно рассматривать как сложное движение, состоящее из движения колеса в целом со скоростью $v$ и вращения точек колеса вокруг его оси с угловой скоростью $\omega$. Тогда в соответствии с теоремой о сложении скоростей проекции абсолютной скорости точки колеса на горизонтальную и вертикальную оси можно записать в виде

$v_{x}=v-v\cos \omega t$

$v_{y}=v\sin \omega t,$

где $R$ — радиус колеса. После интегрирования и с учётом $v=\omega R$ из этих уравнений следует:

$x=\omega Rt-R\sin \omega t$

$y=R-R\cos \omega t.$

Полученные уравнения представляют собой параметрические уравнения циклоиды, соответственно траекторией движения точки колеса является циклоида.