Кинематика точки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Так как всякое движение понятие относительное и имеет содержание только при указании относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект, то движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

  • тело отсчета;
  • систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);
  • прибор для измерения времени (часы).

Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат. Наиболее наглядное представление о радиус-векторе можно получить в евклидовой системе координат, поскольку базис в ней является фиксированным и общим для любого положения тела.

Кинематика поступательного движения[править | править вики-текст]

Основные кинематические понятия[править | править вики-текст]

Материальная точка  — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так Землю можно считать Материальной Точкой (М. Т.) при изучении её движения вокруг Солнца, пулю можно считать М. Т. при её движении в поле тяжести Земли, но нельзя считать таковой при учете её вращательного движения в стволе винтовки. При поступательном движении в ряде случаев при помощи понятия М. Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов. Так, например, тепловоз, проходящий расстояние 1 метр, может считаться М. Т., поскольку его ориентация относительно системы координат в процессе движения является фиксированной и не влияет на постановку и ход решения задачи.

Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве: . Здесь  — координаты радиус-вектора. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора (или его координат ) от времени называется законом движения.

Траектория — Годограф радиус-вектора, то есть — воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или вульгарно — путём и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t) и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде:

,

Где :  — модуль начальной скорости, а  — Тангенциальное ускорение.

Описание движения при помощи понятия траектории — один из ключевых моментов классической механики . В квантовой механике движения носит бестраекторный характер, а значит само понятие траектория теряет смысл.

Основные кинематические величины[править | править вики-текст]

Радиус-векторы и вектор перемещения (черные стрелки). Векторы средней и мгновенных скоростей (Зеленые стрелки). Траектория (красная линия)
Разложение ускорения по сопутствующему базису

Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

.

Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

.

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

.

Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:

.

Единица измерения скорости в системе СИм/с, в системе СГС — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

.

Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с², в системе СГС — см/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения:

.

Здесь  — единичный вектор нормали,  — единичный вектор касательной. Величина называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории:

.

В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Величина называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:

.

Преобразования Галилея[править | править вики-текст]

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью  вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

Примеры законов движения, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка[править | править вики-текст]

Закон равноускоренного движения[править | править вики-текст]

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли

Закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:

Общее решение этого уравнения дается формулой:

 ;

Здесь и — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Движение с постоянным ускорением называют равноускоренным. Движение с постоянным ускорением подчиняется закону:

 ;
.

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

 ;
.

В этом случае часто говорят о равноускоренном движении, если знаки и совпадают и о равнозамедленном, если и имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчета.

Частный случай равноускоренного движения — равномерное движение. В этом случае . Тогда движение описывается закону:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Стрелков С. П. Механика. М.: Наука, 1975.
  2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
  3. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.
  4. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М.: Наука, 1971.