Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физике[1].
Любую функцию
на конечной группе
можно разложить по матричным элементам неприводимых представлений:
,
здесь:
- общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы
,
- число векторов канонического базиса
- го неприводимого представления,
- элементы матрицы
- го неприводимого представления.
Зададим регулярное представление
на группе
при помощи оператора
, действующего в пространстве
функций на группе и определенного соотношением
(1),
где
- произвольная функция на группе.
Оператор
задаёт представление
группы
в пространстве
, так как
и
в силу
.
Пространство
можно представить в виде суммы подпространств:
![{\displaystyle \Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db27e5b80bfdd1f11403c1b83e60fea9a2693394)
вследствие того, что, как всякое представление конечной группы, представление
является суммой неприводимых
представлений. Здесь
- подпространства, преобразующиеся под действием оператора
по неприводимому представлению
,
- целое число, означающее число вхождений представления
в регулярное представление
.
Воспользуемся тем, что в каждом подпространстве
существует канонический базис, совокупность функций
, преобразующихся под действием операторов
как:
(2)
Базис в пространстве
можно получить, объединив базисные функции всех его подпространств и вычислив таким образом коэффициенты
. В результате получим:
(3)
Для завершения доказательства определим функции
. Из формул (1, 2) получаем:
![{\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59847fd1d4b5711126aafd3caa0772dde4324ce7)
Положим в этой формуле
. Формула примет вид:
![{\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\phi _{l}^{(\alpha m)}(e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d968a134fa5e6daa0f2c3e5179a1ac72acb575d9)
Таким образом, всякая функция
раскладывается в ряд по матричным элементам
. Из равенства (3) следует, что и произвольная функция
обладает таким же свойством[2].
- Любарский Г.Я. Теория групп и физика. — М.: Наука, 1986. — 224 с.