Транспозиция (математика)

Транспозиция — перестановка множества, меняющая местами два его элемента.

Определение

Транспозицией конечного множества $X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ называется такая его перестановка $f$, то есть биекция из $X$ в $X$, что существуют такие индексы $i$ и $j$, что $f(a_{i})=a_{j}$, $f(a_{j})=a_{i}$ и $f(a_{k})=a_{k}$ для всех остальных индексов $k$.

Транспозиция называется элементарной, если индексы $i$ и $j$ — соседние.

Транспозиция является частным случаем циклической перестановки и часто обозначается символом $(a_{i},a_{j})$ или $(a_{j},a_{i})$.

Пример

Перестановка $f$ множества $X=\{a,b,c,d,e\}$, заданная правилом

$f(a)=a,\ f(b)=e,\ f(c)=c,\ f(d)=d,\ f(e)=b,$

является транспозицией и записывается символом $(b,e)$.

Свойства

Любая перестановка конечного множества может быть представлена в виде композиции элементарных транспозиций.

Знак перестановки может быть вычислен из разложения перестановки в произведение транспозиций: $\operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m}$, где $m$ — число транспозиций в разложении.