Функция Хаара
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 21 августа 2021 года; проверки требует 1 правка.
Функция Хаара — кусочно-постоянная функция. Определяется на интервале . Последовательность функций Хаара образует ортогональную систему. Впервые была построена Альфредом Хааром[1]. Любую функцию, интегрируемую по Лебегу на интервале , можно разложить в ряд по функциям Хаара, аналогичный разложению в ряд Фурье: .
Определение[править | править код]
Две первые функции Хаара определены так:
Другие функции Хаара определены для всех натуральных :
Здесь: .
Свойства[править | править код]
- Совокупность функций Хаара является ортнормированной системой[2].
- Для функции, интегрируемой по Лебегу, разложение Хаара сходится к этой функции почти всюду.
- Разложение Хаара для функции сходится к этой функции в каждой точке непрерывности этой функции и равномерно сходится на каждом интервале, на котором функция равномерно непрерывна.
Примечания[править | править код]
- ↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Math. Ann., 69 (1910), 331—371, 71 (1912) , 33-53
- ↑ Алексич, 1963, с. 55.
Литература[править | править код]
- Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. — М.: Иностранная литература, 1963. — 359 с.