Равномерная сходимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности , где — произвольное множество, метрическое пространство, сходится к функции (отображению) , означающее, что для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство

Обычно обозначается . Другими словами, последовательность функций равномерно сходится к функции , если скорость сходимости к не зависит от аргумента .

Это условие равносильно тому, что

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , равномерно сходятся на множестве , то последовательности также как и при любых также равномерно сходятся на .
  • Для вещественнозначных функций (или, более обще, если линейное нормированное кольцо), последовательность отображений , равномерно сходится на множестве и ограниченное отображение, то последовательность также равномерно сходится на .
  • Если топологическое пространство, метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно сходится на множестве к отображению , то это отображение также непрерывно в точке .
  • Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций равномерно сходится на отрезке к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство
        
    и сходимость последовательности функций
        
    на отрезке к функции
        
    равномерна.
  • Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , сходится в некоторой точке , a последовательность их производных равномерно сходится на , то последовательность также равномерно сходится на , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
  • Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.