Числа Лаха

Иллюстрация беззнаковых чисел Лаха для n и k между 1 и 4

Числа Лаха, открытые математиком из Словении Иво Лахом в 1955 — это коэффициенты, выражающие возрастающие факториалы через убывающие факториалы.

Беззнаковые числа Лаха имеют интересное значение в комбинаторике — они отражают число способов, каким множество из n элементов может быть разбито на k непустых упорядоченных подмножеств. Числа Лаха связаны с числами Стирлинга.

Беззнаковые числа Лаха (последовательность A105278 в OEIS):

$L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}.$

Числа Лаха со знаками (последовательность A008297 в OEIS):

$L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}.$

L(n, 1) всегда равно n!. В вышеупомянутой интерпретации разбиения множества {1, 2, 3} на 1 множество может быть осуществлено 6 способами:

{(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)}, {(3, 2, 1)}

L(3, 2) соответствует 6 разбиениям на два упорядоченных множества:

{(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {(3), (1, 2)} or {(3), (2, 1)}

L(n, n) всегда равно 1, поскольку, например, разбиение множества {1, 2, 3} на 3 непустых подмножества приводит к подмножествам длины 1.

{(1), (2), (3)}

При использовании обозначения Карамата — Кнута для чисел Стирлинга было предложено использовать следующее альтернативное обозначение чисел Лаха:

$L(n,k)=\left\lfloor {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rfloor .$

Возрастающие и убывающие факториалы

Пусть $x^{(n)}$ обозначает возрастающий факториал $x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)$, а $(x)_{n}$ — убывающий факториал $x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$.

Тогда $x^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}L(n,k)(x)_{k}$ and $(x)_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.$

Например, $x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2).$

Сравните с третьей строкой таблицы значений.

Тождества и связи

$L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!$

$L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}$

$L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}}L(n,k).$

$L(n,k)=\sum _{j}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\},$ где $\left[{n \atop j}\right]$ — числа Стирлинга первого рода, а $\left\{{j \atop k}\right\}$ — числа Стирлинга второго рода. Если принять, что $L(0,0)=1$ и $L(n,k)=0$ при $k>n$.

$L(n,1)=n!$

$L(n,2)=(n-1)n!/2$

$L(n,3)=(n-2)(n-1)n!/12$

$L(n,n-1)=n(n-1)$

$L(n,n)=1$

$\sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}$

Таблица значений

Таблица значений чисел Лаха:

$_{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1
11	39916800	199584000	299376000	199584000	69854400	13970880	1663200	11880	4950	110	1
12	479001600	2634508800	4390848000	3293136000	1317254400	307359360	43908480	3920400	217800	7260	132	1

Современное практическое применение

В последние годы числа Лаха используются в стеганография для сокрытия данных в изображениях. По сравнению с такими альтернативами, как DCT, DFT и DWT, они имеют меньшую сложность—$O(n\log n)$—вычисления их целочисленных коэффициентов. Преобразования Лаха и Лагерра естественно возникают при пертурбативном описании хроматической дисперсии. В оптика Лаха-Лагерра такой подход значительно ускоряет решение задач оптимизации.

См. также

• Числа Стирлинга
• Матрица Паскаля