Убывающие и возрастающие факториалы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Убывающий факториал[1] (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториал[2][3]) определяется как

Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен Похгаммера[4], верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториал[2][3]) определяется как

Значение обоих факториалов принимается равным 1 (пустое произведение[en]) для n = 0.

Символ Похгаммера, который предложил Лео Август Похгаммер, — это обозначение , где неотрицательное целое. В зависимости от контекста, символ Похгаммера может представлять убывающий факториал или возрастающий факториал, определённые выше. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации символа в каждой конкретной статье. Сам Похгаммер использовал обозначение с совершенно другим смыслом, а именно для обозначения биномиального коэффициента [5].

В данной статье символ используется для представления убывающего факториала, а символ — для возрастающего факториала. Эти соглашения приняты в комбинаторике[6]. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции) символ Похгаммера используется для представления возрастающего факториала[7] Полезный список формул для манипуляции с возрастающими факториалами в этой последней нотации дан в книге Люси Слейтер[8]. Кнут использовал термин факториальные степени, которые включают возрастающие и убывающие факториалы[9]

Если x — неотрицательное целое число, то даёт число n-перестановок x-элементного множества или, эквивалентно, число инъекций из множества с n элементами в множество размера x. Однако для этих значений используются другие обозначения, такие как и P(x,n). Символ Похгаммера используется большей частью для алгебраических целей, например, когда x является неизвестной величиной, и в этом случае означает определённый многочлен от x степени n.

Примеры[править | править код]

Несколько первых возрастающих факториалов:

Несколько первых убывающих факториалов:

Коэффициенты, получающиеся при раскрытии скобок, являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства[править | править код]

Возрастающий и убывающий факториалы можно использовать для выражения биномиальных коэффициентов:

и

Тогда многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на возрастающие и убывающие факториалы.

Возрастающий факториал можно выразить через убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

или как убывающий факториал с противоположным аргументом,

Возрастающий и убывающий факториалы вполне определены в любом унитальном кольце, а потому x мог же быть, например, комплексным числом, отрицательным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой комплексной функцией.

Возрастающий факториал можно расширить на вещественные значения n с помощью гамма-функции:

и таким же образом убывающий факториал:

Если обозначить через D взятие производной от x, получим

Символ Похгаммера является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции — гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 степенным рядом

при условии, что c не равно 0, −1, −2, ... . Заметим, однако, что в литературе о гипергеометрической функции для возрастающего факториала используется обозначение .

Связь с теневым исчислением[править | править код]

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора конечной разности и которая формально подобна теореме Тейлора. В этой формуле и многих других местах убывающий факториал при вычислении конечных разностей играет роль при вычислении производной. Заметим, например, похожесть

на

Похожие факты имеют место для возрастающих факториалов.

Изучение аналогий этого типа известно как «теневое исчисление»[10]. Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории последовательностей многочленов биномиального типа[en] и последовательностей Шеффера[en]. Возрастающие и убывающие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, что показывают следующие соотношения:

где коэффициенты те же самые, что и при разложении в степенной ряд биномиального тождества Вандермонда).

Аналогично, генерирующая функция многочленов Похгаммера тогда равна сумме теневых экспонент,

так как .

Коэффициенты связи и тождества[править | править код]

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом с помощью чисел Лаха и с помощью сумм целых степеней переменной , используя числа Стирлинга второго рода, следующим образом (здесь ):[11]

Поскольку убывающие факториалы являются базисом для кольца многочленов, мы можем выразить произведение двух из них в виде линейной комбинации убывающих факториалов:

Коэффициенты при называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов склеить k элементов из множества из m элементов и множества из n элементов. Мы имеем также формулу связи для отношения двух символов Похгаммера

Кроме того, мы можем расширить обобщённое правило степеней и отрицательные возрастающие и убывающие степени с помощью следующих тождеств:

Наконец, формула удвоения[en] и формулы умножения[en] для возрастающих факториалов дают следующие отношения:

Альтернативные обозначения[править | править код]

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала

для целого

И для убывающего факториала

для целого

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно[12]. Грэм, Кнут и Паташник[13] предложили произносить это выражение как "повышение x на m" и "понижение x на m" соответственно.

Другие обозначения для убывающего факториала включают или . (См. статьи «Перестановка» и «Сочетание».)

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала употребляется реже. Во избежание путаницы в случае, когда используется обозначение для возрастающего факториала, для обычного убывающего факториала используется обозначение [5].

Обобщения[править | править код]

Символ Похгаммера имеет обобщённую версию, называемую обобщённым символом Похгаммера[en], и используется в многомерном анализе. Имеется также q-аналог, q-символ Похгаммера.

Обобщение убывающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической прогрессии:

.

Соответствующее обобщение возрастающего факториала

Это обозначение объединяет возрастающий и убывающий факториалы, которые равны и соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции и символических параметров , связанные обобщённые произведения вида

можно изучать с точки зрения классов обобщённых чисел Стирлинга первого рода, определённых с помощью следующих коэффициентов при в разложении , а затем с помощью следующего рекуррентного соотношения:

Эти коэффициенты удовлетворяют многочисленным свойствам, аналогичным свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным отношениям и функциональным равенствам, связанным с f-гармоничными числами [14].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Коганов, 2007.
  2. 1 2 Ландо, 2008.
  3. 1 2 Трауб, 1985, с. 106.
  4. Steffensen, 1950, с. 8.
  5. 1 2 Knuth, 1992, с. 403–422.
  6. Olver, 1999, с. 101.
  7. Так, например, в книге Абрамовича и Стегуна "Handbook of Mathematical Functions", стр. 256
  8. Slater, 1966, с. Appendix I.
  9. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
  10. Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление (Ландо 2008).
  11. Introduction to the factorials and binomials. Wolfram Functions Site.
  12. Согласно Кнуту The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
  13. Graham, Knuth, Patashnik, 1988, с. 47-48.
  14. Combinatorial Identities for Generalized Stirling Numbers Expanding f-Factorial Functions and the f-Harmonic Numbers (2016).

Литература[править | править код]

  • Коганов Л.М. Две задачи // Информатика. — 2007. — Вып. 10.
  • Ландо С.К. Теневое исчисление // Летняя школа «Современная математика». — 2008. — Вып. 2 занятие. Архивировано 15 декабря 2017 года.
  • Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: «Мир», 1985.
  • Steffensen J. F. Interpolation. — 2nd. — Dover Publications, 1950. — С. 8. — ISBN 0-486-45009-0.
  • Donald E. Knuth. Two notes on notation // American Mathematical Monthly

том=99. — 1992. — Вып. 5. — С. 403–422. — doi:10.2307/2325085. — arXiv:math/9205211.. Замечание о символах Похгаммера находится на странице 414. Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming. — 3rd ed.. — 1997. — Т. 1. — С. 50. — ISBN 0-201-89683-4.

Ссылки[править | править код]