Позиционная весовая матрица

Позиционная матрица весов (ПМВ), также известная как позиционная-специфичная весовая матрица применяется для поиска мотивов в биологических последовательностях.
ПМВ может быть построена на основе множественного выравнивания последовательностей, которые, как предполагается, объединены общей функцией. ПМВ являются основным компонентом современных алгоритмов для обнаружения новых мотивов.

История вопроса

Позиционная весовая матрица была представлена американским генетиком Гэри Стормо и его коллегами в 1982 году как альтернативный способ представления консенсусных последовательностей. Консенсусные последовательности использовались ранее для отображения общих мотивов в биологических последовательностях, однако этот метод имел некоторые недостатки прогнозирования и поиска этих мотивов в новых последовательностях. Впервые ПМВ была использована для поиска сайтов инициации трансляции в РНК. Для создания матрицы весов, с помощью которой можно было бы отличать истинные сайты от схожих участков последовательностей, был предложен перцептронный алгоритм польско-американским математиком А. Эренфойхтом. Результатом обучения перцептрона на выборках истинных и ложных сайтов являлись матрица и пороговое значение для различия этих двух наборов данных. Тестирование этой матрицы на новых последовательностях, не включенных в обучающую выборку, показало, что этот метод был более точным и чувствительным по сравнению с построением консенсусной последовательности.
Преимущества ПМВ перед консенсусными последовательностями сделали матрицы популярным методом для представления мотивов в биологических последовательностях.

Создание ПМВ

ПМВ представляет собой матрицу, количество строк которой соответствует размеру алфавита (4 нуклеотида для нуклеиновых кислот и 20 аминокислот для белковых последовательностей), а количество столбцов — длине мотива.
Первым этапом построения матрицы весов на основе множественного безделеционного выравнивания является создание позиционной матрица частот (ПМЧ). Элементы этой матрицы соответствуют тому, сколько раз каждая буква алфавита встречается на конкретной позиции в мотиве. Далее ПМЧ преобразуется в позиционную вероятностную матрицу (ПВМ) путем нормировки на общее число последовательностей в выравнивании. ПВМ показывает, какова вероятность встретить данную букву в данной позиции в исходном выравнивании.
Каждый элемент вероятностной матрицы $M_{k,j}$ равен вероятности встретить букву $k$ в позиции $j$ в исходном выравнивании и высчитывается по формуле:
${\textstyle M_{k,j}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}I\left({X_{i,j}=k}\right),}$
где i $\in$ (1,…,N) — номер последовательности, j $\in$ (1,…,l) — длина мотива, $k$ это набор букв в алфавите, а $I$ — индикатор, вычисляемый по формуле:
_{${\textstyle {I\left(a=k\right)}=\left\{{\begin{matrix}1,&a=k,\\0,&a\neq k,\end{matrix}}\right.}$}
Например, даны следующие десять выровненных последовательностей ДНК, которые представляют один мотив:

GAGGTAAAC TCCGTAAGT CAGGTTGGA ACAGTCAGT TAGGTCATT TAGGTACTG ATGGTAACT CAGGTATAC TGTGTGAGT AAGGTAAGT

соответственно позиционная матрица частот:

${\textstyle F={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}3&6&1&0&0&6&7&2&1\\2&2&1&0&0&2&1&1&2\\1&1&7&10&0&1&1&5&1\\4&1&1&0&10&1&1&2&6\end{bmatrix}}.}$

и, следовательно, полученная после деления на число последовательностей вероятностная матрица:

${\textstyle P={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.3&0.6&0.1&0.0&0.0&0.6&0.7&0.2&0.1\\0.2&0.2&0.1&0.0&0.0&0.2&0.1&0.1&0.2\\0.1&0.1&0.7&1.0&0.0&0.1&0.1&0.5&0.1\\0.4&0.1&0.1&0.0&1.0&0.1&0.1&0.2&0.6\end{bmatrix}}.}$

В позиционной вероятностной матрице сумма значений каждого столбца, то есть вероятность встретить какую-нибудь букву алфавита в данной позиции, в случае безделеционного исходного выравнивания равна 1.
С помощью этой матрицы можно рассчитать вероятность того, что, генерируя с указанной в ней вероятностью буквы в каждой позиции, мы получим последовательность S. Так как столбцы матрицы предполагаются независимыми друг от друга, эта вероятность равна произведению вероятностей получить каждую букву последовательности в ее позиции, то есть:
${\textstyle p(S\vert M)=\prod _{i=0}^{l}M\left(S_{i,j}\right),}$
где $S_{j}$ — буква последовательности S в позиции j.
Например, вероятность того, что последовательности S = GAGGTAAAC получена матрицей ПВМ M , приведенной выше, может быть рассчитана:
$p(S\vert M)=0.1\times 0.6\times 0.7\times 1.0\times 1.0\times 0.6\times 0.7\times 0.2\times 0.2=0.0007056.$
Для расчета ПВМ из небольшого массива данных часто применяются псевдоотсчеты. Из-за неполноты выборки может возникнуть ситуация, когда в некоторой позиции в исходной выборке представлены не все буквы. В таком случае вероятность получить эту букву при генерации случайной последовательности из этой матрицы будет равна нулю. Соответственно, вероятность сгенерировать последовательность с такой буквой в этой позиции тоже будет равна нулю вне зависимости от остальной последовательности. Чтобы избежать этого, к каждому элементу вероятностной матрицы прибавляется некоторое значение, называемое псевдоотчетом, чтобы сделать его отличным от нуля. По правилу Лапласа к каждому элементу матрицы частот добавляется 1 — минимальная возможная встречаемость буквы в этом положении. Существуют более сложные системы псевдоотсчетов, например, использующие смеси Дирихле или матрицы замен.
В приведенном выше примере, построенном без применения псевдоотсчетов, любая последовательность, которая не имеет G в четвертой позиции или T в пятой позиции, будет иметь вероятность 0.
Последний шаг для создания ПВМ — переход от вероятностей букв в различных положениях мотива к их весам. Чаще всего эти веса вычисляются как логарифмическое отношение правдоподобия с учетом фоновой модели генерации случайной последовательности b. Простейшая фоновая модель предполагает, что каждая буква появляется одинаково часто в любой позиции наборе данных, то есть значение $b_{k}=1/\vert k\vert$ для всех символов в алфавите (0.25 для нуклеотидов и 0.05 для аминокислот). Фоновая модель не обязательно должна подразумевать равномерное распределение букв: например, при изучения организмов с высоким GC-составом вероятности для C и G могут увеличиться, а для А и Т — соответственно уменьшиться. Таким образом, элементы матрицы весов рассчитываются по формуле:

$M_{k,j}=\mathrm {log} \;(M_{k,j}/b_{k}).$

Применяя эту трансформацию с вероятностной матрицей из примера (без учета псевдоотсчетов) получаем:

$M={\begin{matrix}A\\C\\G\\T\end{matrix}}{\begin{bmatrix}0.18&0.87&-0.91&-\infty &-\infty &0.87&1.02&-0.22&-0.91\\-0.22&-0.22&-0.91&-\infty &-\infty &-0.22&-0.91&-0.91&-0.22\\-0.91&-0.91&1.02&1.38&-\infty &-0.91&-0.91&0.69&-0.91\\0.47&-0.91&-0.91&-\infty &1.38&-0.91&-0.91&-0.22&0.87\end{bmatrix}}.$

В случае, если элементы ПВМ рассчитываются с использованием логарифмического отношения правдоподобия, вес последовательности может быть рассчитан как сумма весов для каждой буквы этой последовательности в ее позиции. Полученный вес дает представление о том, насколько эта последовательность соответствует мотиву, по которому была создана позиционная матрица весов. Чем меньше вероятность того, что последовательность сгенерирована соответствующей вероятностной матрицей, а не случайна, тем выше вес.

Информативность ПМB

Информационное содержание ПМВ показывает, насколько описанное в ней распределение букв в позициях отличается от равномерного распределения. Собственная информация для каждого символа i в позиции j мотива, равна:

$-\log(p_{i,j})$

Ожидаемая (средняя) собственная информация для этого элемента равна:

$-p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j})$

Информационное содержание всей матрицы равна сумме всех ожидаемых средних собственных информаций каждого элемента матрицы. Информационное содержание ПВМ в случае с неравномерным фоновым распределением рассчитывается по формуле:

$\textstyle -\sum _{i,j}p_{i,j}\cdot \log(p_{i,j}),$ где $p_{b}$ — фоновая частота для данного символа.

Информационное содержание соотносится с расстоянием Кульбака — Лейблера или относительной энтропией.

Использование ПМB

ПМВ широко применяются для анализа нуклеотидных и белковых последовательностей. Прежде всего, они используются для поиска специфических сайтов и мотивов. Например, алгоритм MATCH способен искать в последовательностях ДНК потенциальные сайты связывания транскрипционных факторов. Аналогичные подходы используются для белков. Помимо поиска функциональных доменов, с помощью ПМВ можно предсказывать различные свойства белков, такие как вторичная структура, их доступность для растворителя,контакты в структуре. Помимо поиска мотивов, ПМВ, построенные по множественному выравниванию, используются для описания семейств белков. Существуют базы ПМВ, с помощью которых можно определять принадлежность интересующего белка к известным семействам.[1] Также совершенствуются методы построения и использования ПМВ. Например, был разработан способ создания ПМВ без использования больших множественных выравниваний белков, что значительно ускоряет расчеты при наличии большого массива исходных данных. Кроме того, существует подход с использованием множественных ПМВ для описания семейств белков: в таком случае строится не одна, а много матриц с использованием разных неблизких (чтобы избежать смещения) белков семейства.