Модальная логика

Модальная логика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и/или предикатов есть модальности (модальные операторы).

Сравнение с формальной логикой

Формальную логику можно упростить до цепочки истинное знание→процесс→выводы.

Откуда брать истинное знание для формальных логик если только единичные истинные знания универсальны?..

Логика должна отвечать на реальные жизненные ситуации, а универсальных истин немного.

Модальная логика в широком смысле оперирует:

• знаниями
• предположения (то, что не знаем)
• вопросами^{[уточнить]}
• задачами (что сделать, чтобы получить знание)^{[уточнить]}

Т.е. является более реальным/практичным расширением логики высказываний и логики первого порядка.

Примеры утверждений

Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).

Обычно для обозначения модального оператора используется $\Box$ и двойственный к нему $\diamondsuit$:

$\diamondsuit A=\neg \Box \neg A.$

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».

Модальности

Модальности бывают разные; наиболее распространены временны́е («когда-нибудь в будущем», «всегда в прошлом», «всегда» и т. д.) и пространственные («здесь», «где-то», «близко» и т. д.).

• Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальные понятия:
  • Логические:
    • L — необходимо,
    • M — возможно,
    • С — случайно.
  • Фактические:
    • $\Box$ — необходимо,
    • $\Diamond$ — возможно,
    • $\triangle$ — случайно.

• Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность) модальные понятия:
  • хорошо,
  • нейтрально,
  • плохо.

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

• Эпистемические (др.-греч. ἐπιστήμη — знание) модальные понятия:
  • знание,
  • полагание,
  • незнание.

Эпистемическая логика разработана Яакко Хинтикка.

• Временные:
  • прошлое,
  • настоящее,
  • будущее.

• Пространственные:
  • там,
  • здесь,
  • нигде.

Деонтическая логика

Основная статья: Деонтическая логика

Оперирует понятиями: обязательство, разрешение, норма.

"Ты обязан это сделать" ("Твой долг это сделать") либо "Ты можешь это сделать"

Эти понятия пытались внедрить достаночно давно, но значительный результат был только у Георга фон Вригта в Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, No. 237. (Jan., 1951), pp. 1-15.

Статья 2007 года. A Formal Language for Electronic Contracts

Семантика

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.

Синтаксис

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных $PL$, классических связок $\to ,\bot$, скобок $($, $)$ и модального оператора $\Box$. А именно, формулой является

1. $p$ для любого $p\in PL$.
2. $\bot$.
3. $(A\to B)$, если $A$ и $B$ — формулы.
4. $(\Box A)$, если $A$ — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности

$\Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)$

и замкнутое относительно правил Modus ponens ${\frac {A,A\to B}{B}}$, подстановки ${\frac {A(p)}{A(B)}}$ и введение модальности ${\frac {A}{\Box A}}$.

Минимальная нормальная модальная логика обозначается $K$.

Замечания

• теория двойников обеспечивает перевод языка квантифицированной модальной логики в первопорядковую теорию (но не наоборот) без каких-либо интенсиональных операторов типа «возможно» и «необходимо»

Конференции по модальной логике

Advances in Modal Logic (AiML) проводится раз в 2 года Methods for Modalities (M4M) — также

Литература

• Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
• Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
• Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. – М: Наука, 1976. – 720с.
• Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.
• Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См.также

• Логика знаний

Ссылки

• http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/