Вариация Фреше

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

Определение

Вариация Фреше определяется как:

$F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\varepsilon _{n}^{(r_{1})}\varepsilon _{n}^{(r_{2})}\ldots \varepsilon _{n}^{(r_{n})}\times \right.$

$\times \Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})}){\Bigg |},$

где $f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ — действительнозначная функция, заданная на $n$-мерном параллелепипеде $D_{n}$

$D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}];$

$\Pi$ — произвольное разбиение параллелепипеда $D_{n}$ гиперплоскостями $x_{s}=x_{s}^{(r_{s})}$ такими, что

$x_{s}^{(0)}=a_{s}$, $x_{s}^{(l_{s})}=b_{s}$ и $x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)}$,

где $r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}$, $s=1,\;2,\;\ldots ,\;n$.

$h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}$ — шаг разбиения;

$\Delta _{h_{k}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k},\;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n})$ ($k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$) — приращение функции по $x_{k}$-ой координате;

$\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k-1}};\;x)$ — обобщённое приращение функции по первым $k$ координатам ($k=2,\;3,\;\ldots ,\;n$);

$\varepsilon _{k}^{(r_{k})}=\pm 1$ ($k=1,\;2,\;\ldots ,\;n$) произвольным образом.

Применение

Если $F(f;\;D_{n})<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на $D_{n}$. Класс всех таких функций обозначается через $F(D_{n})$.

При $n=2$ этот класс был введён М. Фреше в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала $U(\varphi _{1},\varphi _{2})$ в пространстве непрерывных на квадрате $Q_{2}=[a,\;b]\times [a,\;b]$ функций вида $\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})$. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

$U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{x_{l}}d_{x_{2}}u(x_{1},\;x_{2}),$

где $u(x_{1},\;x_{2})\in F(Q_{2})$, $u(a,\;x_{2})\equiv u(x_{1},\;b)\equiv 0$.

Позднее было показано, что для $2\pi$-периодических функций класса $f(Q_{n})$ ($Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]$) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье. Так, например, если $f(x)\in F(Q_{n})$, $n=2,\;3,\;\ldots$, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$ в каждой точке $x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})$ сходятся к числу

${\frac {1}{2^{n}}}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0),$

где суммирование распространяется на все $2^{n}$ возможных комбинаций знаков $\pm$. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.

Литература

• Канторович, Л. В., Акилов, Г. П. Функциональный анализ. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 816 с. — ISBN 5-94157-597-1..

См. также

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Харди