Вариация Фреше

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

Определение[править | править вики-текст]

Вариация Фреше определяется как:

F(f,\;D_n)\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_\varepsilon\,\sup_\Pi\left|\sum^{l_1-1}_{r_1=0}\sum^{l_2-1}_{r_2=0}\ldots\sum^{l_n-1}_{r_n=0}\varepsilon^{(r_1)}_n\varepsilon^{(r_2)}_n\ldots\varepsilon^{(r_n)}_n\times\right.
\times\Delta_{h^{(r_1)}_1 h^{(r_2)}_2\ldots h^{(r_n)}_n}(f;\;x^{(r_1)}_1,\;x^{(r_2)}_2,\;\ldots,\;x^{(r_n)}_n)\Bigg|,

где f(x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n) — действительнозначная функция, заданная на n-мерном параллелепипеде D_n

D_n=[a_1,\;b_1]\times[a_2,\;b_2]\times\ldots\times[a_n,\;b_n];

\Pi — произвольное разбиение параллелепипеда D_n гиперплоскостями x_s=x^{(r_s)}_s такими, что

x^{(0)}_s=a_s, x^{(l_s)}_s=b_s и x^{(r_s)}_s<x^{(r_s+1)}_s,
где r_s=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;l_s, s=1,\;2,\;\ldots,\;n.

h^{(r_s)}_s=x^{(r_s+1)}_s-x^{(r_s)}_s — шаг разбиения;

\Delta_{h_k}(f,\;x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k+h_k,\;\ldots,\;x_n)-f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k,\;\ldots,\;x_n) (k=1,\;2,\;\ldots,\;n) — приращение функции по x_k-ой координате;

\Delta_{h_1h_2\ldots h_k}(f;\;x)=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1h_2\ldots h_{k-1}};\;x) — обобщённое приращение функции по первым k координатам (k=2,\;3,\;\ldots,\;n);

\varepsilon^{(r_k)}_k=\pm1 (k=1,\;2,\;\ldots,\;n) произвольным образом.

Применение[править | править вики-текст]

Если F(f;\;D_n)<\infty, то говорят, что функция f(x) имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на D_n. Класс всех таких функций обозначается через F(D_n).

При n=2 этот класс был введён М. Фреше[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала U(\varphi_1,\varphi_2) в пространстве непрерывных на квадрате Q_2=[a,\;b]\times[a,\;b] функций вида \varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2). Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

U(\varphi_1,\;\varphi_2)=\int\limits_a^b\int\limits_a^b\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)\,d_{x_l}d_{x_2}u(x_1,\;x_2),

где u(x_1,\;x_2)\in F(Q_2), u(a,\;x_2)\equiv u(x_1,\;b)\equiv0.

Позднее было показано, что для 2\pi-периодических функций класса f(Q_n) (Q_n=[0,\;2\pi]\times\ldots\times[0,\;2\pi]) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье[2]. Так, например, если f(x)\in F(Q_n), n=2,\;3,\;\ldots, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции f(x) в каждой точке x=(x_1,\;x_2,\ldots,\;x_n) сходятся к числу

\frac{1}{2^n}\sum f(x_1\pm0,\;x_2\pm0,\;\ldots,\;x_n\pm0),

где суммирование распространяется на все 2^n возможных комбинаций знаков \pm. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Frechet М. Transactions of the American Mathematical Society. — 1915. — v. 16. — № 3. — p. 215—234.
  2. Morse M., Transue W. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. — 1949. — v. 35. — № 7. — p. 395—399.