Вариация Фреше

Вариация Фреше — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного.

Определение

Вариация Фреше определяется как:

$F(f,\;D_n)\,\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup_\varepsilon\,\sup_\Pi\left|\sum^{l_1-1}_{r_1=0}\sum^{l_2-1}_{r_2=0}\ldots\sum^{l_n-1}_{r_n=0}\varepsilon^{(r_1)}_n\varepsilon^{(r_2)}_n\ldots\varepsilon^{(r_n)}_n\times\right.$

$\times\Delta_{h^{(r_1)}_1 h^{(r_2)}_2\ldots h^{(r_n)}_n}(f;\;x^{(r_1)}_1,\;x^{(r_2)}_2,\;\ldots,\;x^{(r_n)}_n)\Bigg|,$

где $f(x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)$ — действительнозначная функция, заданная на $n$-мерном параллелепипеде $D_n$

$D_n=[a_1,\;b_1]\times[a_2,\;b_2]\times\ldots\times[a_n,\;b_n];$

$\Pi$ — произвольное разбиение параллелепипеда $D_n$ гиперплоскостями $x_s=x^{(r_s)}_s$ такими, что

$x^{(0)}_s=a_s$, $x^{(l_s)}_s=b_s$ и $x^{(r_s)}_s<x^{(r_s+1)}_s$,

где $r_s=0,\;1,\;2,\;\ldots,\;l_s$, $s=1,\;2,\;\ldots,\;n$.

$h^{(r_s)}_s=x^{(r_s+1)}_s-x^{(r_s)}_s$ — шаг разбиения;

$\Delta_{h_k}(f,\;x)=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k+h_k,\;\ldots,\;x_n)-f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k,\;\ldots,\;x_n)$ ($k=1,\;2,\;\ldots,\;n$) — приращение функции по $x_k$-ой координате;

$\Delta_{h_1h_2\ldots h_k}(f;\;x)=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1h_2\ldots h_{k-1}};\;x)$ — обобщённое приращение функции по первым $k$ координатам ($k=2,\;3,\;\ldots,\;n$);

$\varepsilon^{(r_k)}_k=\pm1$ ($k=1,\;2,\;\ldots,\;n$) произвольным образом.

Применение

Если $F(f;\;D_n)<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на $D_n$. Класс всех таких функций обозначается через $F(D_n)$.

При $n=2$ этот класс был введён М. Фреше в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала $U(\varphi_1,\varphi_2)$ в пространстве непрерывных на квадрате $Q_2=[a,\;b]\times[a,\;b]$ функций вида $\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)$. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

$U(\varphi_1,\;\varphi_2)=\int\limits_a^b\int\limits_a^b\varphi_1(x_1)\varphi_2(x_2)\,d_{x_l}d_{x_2}u(x_1,\;x_2),$

где $u(x_1,\;x_2)\in F(Q_2)$, $u(a,\;x_2)\equiv u(x_1,\;b)\equiv0$.

Позднее было показано, что для $2\pi$-периодических функций класса $f(Q_n)$ ($Q_n=[0,\;2\pi]\times\ldots\times[0,\;2\pi]$) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье. Так, например, если $f(x)\in F(Q_n)$, $n=2,\;3,\;\ldots$, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$ в каждой точке $x=(x_1,\;x_2,\ldots,\;x_n)$ сходятся к числу

$\frac{1}{2^n}\sum f(x_1\pm0,\;x_2\pm0,\;\ldots,\;x_n\pm0),$

где суммирование распространяется на все $2^n$ возможных комбинаций знаков $\pm$. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.

Литература

• Канторович, Л. В., Акилов, Г. П. Функциональный анализ. — СПб: БХВ-Петербург, 2004. — 816 с. — ISBN 5-94157-597-1.

См. также

• Вариация функции
• Вариация Арцела
• Вариация Витали
• Вариация Пъерпонта
• Плоская вариация Тонелли
• Вариация Харди