Гиперплоскость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением  n_1x_1 + n_2x_2 = b ), для трёхмерного — плоскость и т. д.

Уравнение гиперплоскости[править | править вики-текст]

Пусть \mathbf{n} \in \R^k — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку \mathbf{X} \in \R^k, имеет вид

(\mathbf{n} ; \mathbf{x}) = (\mathbf{n} ; \mathbf{X})

Здесь (\cdot;\cdot) — скалярное произведение в пространстве \R^k. В частном случае уравнение принимает вид

n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k = d = n_1 X_1 + n_2 X_2 + \ldots + n_k X_k

Расстояние от точки до гиперплоскости[править | править вики-текст]

Пусть \mathbf{n} \in \R^k — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки \mathbf{r} \in \R^k до этой гиперплоскости даётся формулой

\rho = \frac{|(\mathbf{r}-\mathbf{R};\mathbf{n})|}{|\mathbf{n}|}

где \mathbf{R} — произвольная точка гиперплоскости.