Гиперплоскость

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Например, для двумерного пространства гиперплоскость есть прямая (отражаемая уравнением $n_1x_1 + n_2x_2 = b$), для трёхмерного — плоскость и т. д.

Уравнение гиперплоскости

Пусть $\mathbf{n} \in \R^k$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда уравнение гиперплоскости, проходящей через точку $\mathbf{X} \in \R^k$, имеет вид

$(\mathbf{n} ; \mathbf{x}) = (\mathbf{n} ; \mathbf{X})$

Здесь $(\cdot;\cdot)$ — скалярное произведение в пространстве $\R^k$. В частном случае уравнение принимает вид

$n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k = d = n_1 X_1 + n_2 X_2 + \ldots + n_k X_k$

Расстояние от точки до гиперплоскости

Пусть $\mathbf{n} \in \R^k$ — нормальный вектор к гиперплоскости, тогда расстояние от точки $\mathbf{r} \in \R^k$ до этой гиперплоскости даётся формулой

$\rho = \frac{|(\mathbf{r}-\mathbf{R};\mathbf{n})|}{|\mathbf{n}|}$

где $\mathbf{R}$ — произвольная точка гиперплоскости.