Весовая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, весовая матрица W порядка n с весом w — это n \times n (0,1,-1)-матрица, такая что WW^{T}=wI_n, где W^Tтранспонирование матрицы W, а I_n — единичная матрица порядка n. Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Для удобства весовую матрицу порядка n и веса w часто обозначают W(n,w).

W(n,n-1) эквивалентна конференс-матрице, а W(n,n)матрице Адамара.

Свойства[править | править вики-текст]

Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:

  • Строки весовой матрицы попарно ортогональны. Аналогично для столбцов.
  • Каждая строка и каждый столбец содержит в точности w ненулевых элементов.
  • W^{T}W = wI, так как из определения следует W^{-1} = w^{-1}W^{T} (предполагается, что вес не равен 0).
  • \mathrm{det}(W)=\pm w^{n/2}, где det(W)определитель матрицы W.

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда w \leq 5, а также всех случаев, когда n \leq 15. [1]. За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.

Примеры[править | править вики-текст]

Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ - для −1.

Приведём два примера: W_2 является W(2,2) весовой матрицей (матрицей Адамара), а W_7W(7,4) весовой матрицей.

  • W_2 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -\end{pmatrix}
  • W_7 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & - & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & - & 0 & - & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & - & 0 & - & - \\
0 & 1 & - & 0 & 0 & 1 & - \\
0 & 1 & 0 & - & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & - & - & 1 & 0
\end{pmatrix}

Открытые вопросы[править | править вики-текст]

Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным их них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. M. Harada, A. Munemasa, On the classification of weighing matrices and self-orthogonal codes, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382.