Весовая матрица

В математике, весовая матрица $W$ порядка $n$ с весом $w$ — это $n\times n$ $(0,1,-1)$-матрица, такая что $WW^{T}=wI_{n}$, где $W^{T}$ — транспонирование матрицы $W$, а $I_{n}$ — единичная матрица порядка $n$. Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Для удобства весовую матрицу порядка $n$ и веса $w$ часто обозначают $W(n,w)$.

$W(n,n-1)$ эквивалентна конференс-матрице, а $W(n,n)$ — матрице Адамара.

Свойства

Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:

• Строки весовой матрицы попарно ортогональны. Аналогично для столбцов.
• Каждая строка и каждый столбец содержит в точности $w$ ненулевых элементов.
• $W^{T}W=wI$, так как из определения следует $W^{-1}=w^{-1}W^{T}$ (предполагается, что вес не равен 0).
• $\mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2}$, где $det(W)$ — определитель матрицы $W$.

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда $w\leq 5$, а также всех случаев, когда $n\leq 15$. . За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.

Примеры

Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ $-$ для −1.

Приведём два примера: $W_{2}$ является $W(2,2)$ весовой матрицей (матрицей Адамара), а $W_{7}$ — $W(7,4)$ весовой матрицей.

• $W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$
• $W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}$

Открытые вопросы

Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным из них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.

Ссылки

• On Hotelling's Weighing Problem, Alexander M. Mood, Ann. Math. Statist. Volume 17, Number 4 (1946), 432-446.