Гиперболическое множество

В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм $f$ многообразия $M$ гиперболичен на инвариантном множестве $\Lambda$, если касательное расслоение над $\Lambda$ допускает непрерывное разложение в прямую сумму,

$T_\Lambda M = E^u \oplus E^s,$

причём подрасслоения $E^u$ и $E^s$ инвариантны относительно динамики, и вектора $E^u$ растягиваются, а вектора $E^s$ сжимаются под действием динамики:

$\|f^n(v)\| \le c_1\,\lambda^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^s,$

$\|f^n(v)\| \ge c_2\,\mu^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u,$

где $c_1,c_2>0$ и $\mu>1>\lambda>0$ — константы.

Также в этом случае говорят, что $\Lambda$ — гиперболическое инвариантное множество отображения $f$.

См. также

• Диффеоморфизм Аносова
• Подкова Смейла

Литература

• Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1